编码I(2021-08-17)

题目大意

外网进不去
输入两个自然数n,m，输出n个数（1~n）的第m种全排列。

解题思路

最好想到的方法，就是使用暴力，枚举出1~n的全排列，再输出第m种排列。但这题的数据规模不允许：$1\le n\le 20$，$1\le m\le n!$最糟糕的情况需要循环20!次，很明显会超时。不能用暴力，只能换一种思路——康托逆展开。

算法介绍

康托逆展开是康托展开的逆用。康托展开是用来给一个排列编序号的（不过是从0开始），公式为：$x=a[n]\ast (n-1)!+a[n-1]\ast (n-2)!+...+a[1]\ast (1-1)!$（a[n]表示n是没有用过的数字里第几小的，也是从0开始）
如：3，1，2，4，5
先看3，在序列中，比三小且没用过的有2个，所以三是第二小的（从0开始编号），所以：
$s=s+2\ast (5-1)!$
再看1，在序列中，比一小且没用过的有0个，所以一是第零小的（从0开始编号），所以：
$s=s+0\ast (4-1)!$
再看2，在序列中，比二小且没用过的有0个，所以二是第零小的（从0开始编号），所以：
$s=s+0\ast (3-1)!$
再看4，在序列中，比四小且没用过的有0个，所以四是第零小的（从0开始编号），所以：
$s=s+0\ast (2-1)!$
再看5，在序列中，比五小且没用过的有0个，所以五是第零小的（从0开始编号），所以：
$s=s+0\ast (1-1)!$
由此，我们可以得到，$s=48$，也就是3，1，2，4，5这个排列的序号。
c++代码实现：

int kt()
{
    
    
	int ans=0;
	int t[101];
	for(int i=0;i<=tot;i++)
		t[i]=1;//标记所有都没有找过
	for(int i=1;i<=tot;i++){
    
    
		long long v2=0;
		for(int j=1;j<a_t[i];j++)
			v2+=t[j];//找到出现次数
		t[a_t[i]]=0;
		ans=ans+fact[v2]*(tot-i);//带人公式
	}
	return;
}

而康托逆展开就是利用一个编号（从0开始），来推出其排列：
如：设$s=49,lenth=5$
第一个数是当前（从0算起）第$(49-1)/(5-1)!=2(......0)$个未出现的数，所以第一个数为：3；
第二个数是当前（从0算起）第$0/(4-1)!=0(......0)$个未出现的数，所以第二个数为：1；
第三个数是当前（从0算起）第$0/(3-1)!=0(......0)$个未出现的数，所以第三个数为：2；
第四个数是当前（从0算起）第$0/(2-1)!=0(......0)$个未出现的数，所以第四个数为：4；
第五个数是当前（从0算起）第$0/(1-1)!=0(......0)$个未出现的数，所以第五个数为：5；
所以，编号为49（从1算起）的排序为3，1，2，4，5；
c++代码实现：

void kt(long long n2)
{
    
    
	for(int i=0;i<=n;i++)
		t[i]=1;//记录所有都没有选过
	long long t2;
	n2--;
	for(int i=0;i<n;i++){
    
    
		t2=n2/fact[n-1-i];//得到商
		n2%=fact[n-1-i];//得到余数
		for(int j=1;j<=n;j++) {
    
    
			if(!t[j])
				continue;
			if(!t2){
    
    //找到了第t2个数
				t[j]=0;
				a[i]=j;
				break;
			}
			t2--;
		}
	}
}

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long a[100],m,n,fact[100],t[100],ans[100];
void ycl()
{
    
    
	fact[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		fact[i]=fact[i-1]*i;
	return;
}
void kt(long long n2)
{
    
    
	for(int i=0;i<=n;i++)
		t[i]=1;
	long long t2;
	n2--;
	for(int i=0;i<n;i++){
    
    
		t2=n2/fact[n-1-i];
		n2%=fact[n-1-i];
		for(int j=1;j<=n;j++) {
    
    
			if(!t[j])
				continue;
			if(!t2){
    
    
				t[j]=0;
				a[i]=j;
				break;
			}
			t2--;
		}
	}
}
int main()
{
    
    
	cin>>n>>m;
	ycl();
	kt(m);
	for(int i=0;i<n;i++)
		cout<<a[i]<<" ";
}

样例

输入

3 2

输出

1 3 2