本文是观看B站视频教程所做的截图和笔记。
疑问：
- 1.
H是单位矩阵吗？如果是的话，那么卡尔曼增益的两种写法都合理。那么他的作用是对 X k X_k Xk向量进行变换为 Z k Z_k Zk向量的各个维度对应吗？
答：不是。见后面新增的博客截图。 - 2.卡尔曼增益 K k K_k Kk是矩阵还是实数？
答：卡尔曼增益 K k K_k Kk是矩阵。我目前还没有真正弄懂卡尔曼增益，所以根据结论倒着推，当测量噪声的协方差矩阵R特别小时，卡尔曼增益 K k K_k Kk趋近于H的逆H − 1 H^{-1} H−1。所以卡尔曼增益 K k K_k Kk和H行和列维度一样。以后有时间了弄清楚。
无论是算出来的结果，还是测量出来的结果，都不具备噪声的影响。如果你可以完整建模噪声的话，就不存在卡尔曼滤波器了，也就不存在观测器的作用了，因为你可以得到这个结果。
因为存在噪声，所以这两个结果都是不准确的，此时，卡尔曼滤波器的作用就体现出来了。
且看卡尔曼滤波器如何通过2个不太准确的结果得出一个准确结果：
注意区分先验和逆的符号表示，对于Xk和Pk右上角跟一个-的，就是先验，不跟-就是后验.对于H后面跟一个-就表示逆。有的右上角符号是-T，表示的是先验的转置。
文中的下标k表示k时刻。
我们一般会假设过程噪声和测量噪声都符合正态分布。
下面这张截图摘自卡尔曼滤波五个公式推导，每个变量是什么都写的比较清楚。
从下面开始都是B站的截图：
去掉两个噪声，如下
上面的(1)式，由于去掉了过程噪声那一项，所以是不完整的，头顶加上^表示是估计值，由于我们没对他们做任何处理，右上角加上-表示先验，合起来就叫先验估计。
后 验 X k ^ = 先 验 X k − ^ + G ∗ ( 测 量 值 X k m e a s u r e d − 先 验 X k − ^ ) \displaystyle\color{blue}后验\hat{X_k} = 先验\hat{X_k^-} + G*(测量值X_k{measured} - 先验\hat{X_k^-}) 后验Xk^=先验Xk−^+G∗(测量值Xkmeasured−先验Xk−^)
G G G 是卡尔曼增益，而教科书中给出的卡尔曼增益是 K k K_k Kk,二者之间的关系有：
G = K k ∗ H \displaystyle\color{blue}G = K_k * H G=Kk∗H。
接下来我们需要量化误差， e k = X k − X k ^ \displaystyle\color{blue}e_k = X_k - \hat{X_k} ek=Xk−Xk^，误差也满足正态分布。
注意：
- e k = X k − X k ^ \displaystyle\color{blue}e_k = X_k - \hat{X_k} ek=Xk−Xk^，其中 X k {X_k} Xk是第
k时刻的实际值， X k ^ \hat{X_k} Xk^是第k时刻的后验估计值。 - 先验误差 e k − = X k − X k − ^ \displaystyle\color{blue}e_k^- = X_k - \hat{X_k^-} ek−=Xk−Xk−^ ，其中 X k X_k Xk是第
k时刻的实际值， X k − ^ \hat{X_k^-} Xk−^是第k时刻的先验估计值。
我们知道，方差越小，误差就越小，也就越接近期望值。
为了使得方差最小，我们就是要使得协方差矩阵的迹最小，如下：
对于 e k e_k ek的协方差矩阵P，把 e k e_k ek代入下面P中得到：
上面的P就是 P k P_k Pk,含义见下面：
由于上面的期望E中式子是线性的，所以可以随他们分别求期望：
由于 e k e_k ek和测量噪声v都满足正态分布，所以他们的期望都为0，所以上面的有些式子可以直接划掉。
如果两个不同的变量A和B是独立同分布的，那么期望E(AB)=E(A)*E(B)。
上面的式子化简后得到：
前面的所有式子都是在求P, P就是Pk：
下一篇博客会讲到怎么求 P k P_k Pk的先验 P k − P_k^- Pk−，即上式的等号右边第一项。
由于前面的式子中的第二个和第三个有以下转置关系：
方阵有个定理是，矩阵A和矩阵A的逆 A − 1 A^{-1} A−1，他们的的迹相等。所以上面第二三个式子的迹相等。
推导了这么多，别忘了我们开始的目标是，为了使得方差最小，我们就是要使得协方差矩阵的迹最小：
要求协方差的迹最小，就是迹对 K k K_k Kk求导==0，
该方法证明在矩阵的迹可以看到。
最后得到：
P k P_k Pk是协方差矩阵，又因为协方差矩阵的转置等于他自己，化简得到：
最终求得 K k K_k Kk:
该公式就是卡尔曼滤波器中最核心的公式。
(下一篇博客会讲到分子的 P k − P_k^- Pk−即 P k P_k Pk的先验是怎么得到的。)
得到了卡尔曼增益 K k K_k Kk,我们再回过头来分析:
当测量噪声的协方差矩阵R特别大时，卡尔曼增益 K k K_k Kk趋近于0，此时估计值就等于先验估计值，我们更愿意相信计算出来的结果。
当测量噪声的协方差矩阵R特别小时，卡尔曼增益 K k K_k Kk趋近于H逆 H − 1 H^{-1} H−1，此时估计值就等于 测 量 值 ∗ H − 1 \displaystyle\color{blue}测量值*H^{-1} 测量值∗H−1 ，我们更愿意相信测量出来的结果。
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w是过程噪声（即过程噪声是n维向量，它的每一维度都表示噪声的一个特征），P(w)是
过程噪声的概率分布，0是过程噪声的期望，Q是过程噪声的协方差矩阵。
我们一般会假设过程噪声和测量噪声都符合正态分布。
下面是以过程噪声是2维向量为例来推导公式：
由于方差和期望有以下关系：
V a r ( x ) = E ( x 2 ) − E 2 ( x ) \displaystyle\color{blue}Var(x) = E(x^2) - E^2(x) Var(x)=E(x2)−E2(x)
对于正态分布，他的期望 E ( x ) = 0 \displaystyle\color{blue}E(x) = 0 E(x)=0所以 E 2 ( x ) = 0 \displaystyle\color{blue}E^2(x) = 0 E2(x)=0
所以方差就等于 V a r ( x ) = E ( x 2 ) \displaystyle\color{blue}Var(x) = E(x^2) Var(x)=E(x2)
所以可以得到上面的协方差矩阵。
上面的协方差矩阵的书写方式会造成误解，因为X和Y协方差 并不等于 X的标准差乘以Y的标准差，而且可正可负，在这里是表示二者之间的协方差，并不是二者标准差相乘。这篇博客的最后介绍了相关系数：
