整数规划

整数规划的标准模型可以由标准线性规划模型变形得到：
$\left\{ \begin{aligned} \min & z=c'x\\ s.t.& Ax\leq b\\ &x\geq 0 & x_i\in I, i\in J\subset \{1,2,\dots, n\} \end{aligned} \right.$

分支定界法

设整数规划问题为IP,对应松弛的线性规划问题为LP。

求解LP，可能得到如下几种情况

LP无可行解，则IP也没有可行解.
LP有最优解切解的各个分量均为整数，即已经为IP问题的最优解，停止计算.
LP有最优解，但不符合IP中的整数条件的要求，设此时的目标数值为 $f_0$ , IP问题的最优目标值为 $f$ ，则满足 $f\geq f_0$ .

迭代

分支：在LP的最优解中任选一个不符合整数条件的变量 $x_j$ （一般选择最大值的非整数分量构造添加约束条件），设其为 $v_j$ ，构造两个约束条件 $x_j\leq v_j$ 和 $x_j\geq v_j+1$ ，将这两个条件分别加入问题LP，从而将LP拆分为两个子问题LP1和LP2. 在松弛整数约束的条件下分别求解LP1和LP2.
定界：以每个子问题为一个分支并表明求解结果，与其他问题的解进行比较，找到最优目标函数值的最小者作为新的下界，替换 $f_0$ ;从符合整数条件的分支中，找出目标函数值的最小者作为新的上界 $f^*$ ，则有 $f_0\leq f\leq f^*$ .
剪枝：各分支的最优目标函数值中若存在大于 $f^*$ 的，则剪去该分支，如果小于 $f^*$ ，且不符合整数条件，则重复分支步骤，直到最优目标函数值 $f=f^*$ 为止，得到最优整数解 $x_j^*(j=1,2,\dots, n)$ .

割平面法

Gormory割平面法的基本原理是在整数线性规划的松弛问题中附加线性约束，以割去松弛问题最优解附近的非整数解，得到整数解的顶点.
Gormory算法的步骤如下：

解纯IP问题的松弛问题 $P^{'}$ ，如果不存在可行解，则 $P$ 也没有可行解，如果 $P^{'}$ 的最优解为 $x^*$ 是整数解，则 $x^*$ 也是 $P$ 问题的最优解，停止计算，否则转2.
求割平面方程，任选 $x^*$ 的一个非整数分量 $x_p$ ( $x_p$ 为基变量)，定义包含该基变量的切割约束方程
$x_p+\sum_{j\in T}r_{ij}x_j=b_{con}$
其中 $T$ 为非基变量的下标集合.
令 $\bar{r}_{ij}=r_{ij}-[r_{ij}]$ ， $\bar{d}_{con}=b_{con}-[b_{con}]$ ，将切割约束表示为
$x_p+\sum_{j\in T}[r_{ij}]x_j-[b_{con}]=\bar{d}_{con}-\sum_{j\in T}\bar{r}_{ij}x_j$
将切割方程加入到约束方程中，用对偶单纯形法求解线性规划
$\begin{aligned} \min& z=c'x\\ s.t.& Ax=b\\ &\bar{d}_{con}-\sum_{j\in T}\bar{r}_{ij}x_j\leq 0\\ &x\geq 0, i=1,2,\dots, n \end{aligned}$
如果其最优解为整数解，则为问题 $P$ 的最优解，否则将该解重新记为 $x^*$ ，返回2。

隐枚举法

隐枚举法是求解0-1规划常用的方法，0-1规划的标准形式如下：
$\begin{aligned} \min &z=c'x=\sum_{i=1}^nc_ix_i\\ s.t. & Ax\leq b\\ &x_i=0 \quad or \quad 1, i=1,2,\dots, n \end{aligned}$

Demo: 割平面法求解IP问题

$\begin{aligned} \max & z=-x_1-27x_2\\ s.t. & -x_1+x_2\leq 1\\ &24x_1+4x_2\leq 25\\ &x_1, x_2\geq 0 x_i\in I, i=1,2 \end{aligned}$

code

function [x, val] = gomory(A, b, c)
    [minx, val, A2, b1] = mysimplex(A, b, c);
    eps = 1.0e-7;
    while 1
        n = length(b1);
        y = zeros(1, n);
        for i=1:n
            if abs(round(b1(i))-b1(i))>eps
                y(i)=1;
            end
        end
        a = find(y==1);
        if ~isempty(a)
            A = A2(1:end-1, 1:end-1);
            [r, c1]=size(A);
            b = A2(1:end-1,end);
            m = findeye(A);
            [fk, id]=max(mydec(b(a)));
            id = a(id);
            nbase = redu(1:c1, m(:, 2), 'c');
            B = A(:, nbase);
            nbaL = length(nbase);
            y1 = zeros(1, nbaL);
            for i=1:nbaL
                y1(i)=-mydec(B(id, i));
            end
            A = [A zeros(r, 1)];
            A1 = zeros(1, r+1);
            A1(nbase)=y1;
            A = [A; A1 1];
            b=[b; -fk];
            c=[c 0];
            [minx, b1]=dualsimplex(A, b, c);
            A2 = minx.A;
            val = minx.f;
        else
            break;
        end
    end
    x=minx;
end

【IP】整数规划及一些求解算法

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