ARC 129 C Multiple of 7 题解

Description

给定整正数 $n$。

构造一个长度不超过 $10^6$ 的字符串，使得其中满足 $\lceil$ 从左到右依次拼接起来，得到的十进制数是 $7$ 的倍数 $\rfloor$ 的区间 $[l,r]$ 恰有 $n$ 个。

$n\le 10^6$

Solution

自闭了，构造题杀我！

首先，考虑对于一个固定的数字串 $S$，其中有多少合法的子串 $[l,r]$。

考虑使用前缀和维护。令 $a_i$ 表示，$[i,|S|]$ 依次拼接起来得到的十进制数对 $7$ 取模的值，则显然有 $a_i=(a_{i+1}+10^{|S|-i}{S}_i)\text{mod}7$。从而，把 $[l,r]$ 从左到右依次拼接起来得到的十进制数字对 $7$ 取模的值就是：

$$\frac{a_l-a_{r+1}}{10^{|S|-r}}$$

注意到 $10$ 与 $7$ 互质，因此 $[l,r]$ 合法当且仅当 $a_l=a_{r+1}$。

更进一步的，$S$ 中合法串的数量，就是 ${\sum }_{i=0}^6\frac{cn{t}_i(cn{t}_i-1)}{2}$，其中 $cn{t}_i$ 表示满足 $a_j=i$ 的 $j$ 的数量。

可以发现，只要我们能将 $n$ 拆分为 $7$ 个三角形数（$0,1,3,6,\cdots$）的和，那么构造 $a$ 就十分容易了，从而就唯一确定了 $S$。所以关键在于，如何将 $n$ 进行拆分呢？

首先，根据费马多边形数定理，显然是能够进行拆分的。那么该如何构造呢？

考虑贪心——将 $O(\sqrt{n})$ 个三角形数从大到小排列，从左往右扫描，令当前的三角形数为 $val$，若 $val\le n$ 则从 $n$ 中拆分出 $val$ 并将 $n$ 减去 $val$，否则不予拆分。我们惊人地发现——在 $1\le n\le 10^6$ 的时候，上述算法总是能够得到一组合法解（注意并不一定会拆分在三个及以内，但只要拆分在 $7$ 个及以内就足够了）。

于是我们 $O(n)$ 地解决了本题。

Code

咕咕咕