Small Multiple[ARC084 B]

【题目描述】
给定一个整数\(k\).求一个\(k\)的整数倍\(sum\),使得\(sum\)的数字和最小

题解

考试的时候想尽一切办法枚举，卡时 最多卡到70pts

其实如果把那几个最毒瘤的数放上去完全可以把暴力卡掉

正解是要建图跑最短路

考虑\(sum\)在模\(k\)意义下的值

我们建立\(k\)个节点 编号为\(0\sim n-1\)

对于每个\(i\) 连一条\(i\)到\((i+1)\% k\)的边 边权为\(1\) 表示\(sum+1\) 数字和也\(+1\)

再连一条\(i\)到\((i*10)\% k\)的边 边权为\(0\) 表示\(sum*10\) 数字和不变

然后从节点\(0\)开始 因为第一步肯定走\(0\)到\(1\)的边(你让\(0*10\)也没有意义) 所以跑一次节点\(1\)到节点\(0\)的最短路即可 到节点\(0\)时\(sum\)肯定是被\(k\)整除的 满足题意

有人可能会问 万一连续走了\(10\)次第一类边 导致加法进位了怎么办

由于我们是在图上跑最短路 连续走\(10\)次第一类边(\(sum+1+1+1\dots +1\)) 边权和为\(10\) 一定是不如走一次第一类边再走一次第二类边(\((sum+1)*10\)) 到达的是图上的同一个点 但是第二种走法边权和仅为\(1\) 所以\(1\)到\(0\)的最短路中一定不会有连续走\(10\)次第一类边的情况

所以此题的答案就是\(0\)号节点到\(1\)号节点的最短路长度+1

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int, int> pii;

inline int read() {
    int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
    for (; ch > '9' || ch < '0'; ch = getchar()) if (ch == '-') f = -1;
    for (; ch <= '9' && ch >= '0'; ch = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ '0');
    return x * f;
}

int n, ans;
int head[100005], pre[2000005], to[2000005], val[2000005], sz;
int dis[100005];
bool vis[100005];

inline void addedge(int u, int v, int w) {
    pre[++sz] = head[u]; head[u] = sz; to[sz] = v; val[sz] = w;
}

priority_queue<pii, vector<pii> , greater<pii> > q;

inline void dijkstra(int st) {
    memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    q.push(make_pair(0, st));
    dis[st] = 1;
    while (!q.empty()) {
        int x = q.top().second;
        q.pop();
        if (vis[x]) continue;
        else vis[x] = 1;
        for (int i = head[x]; i; i = pre[i]) {
            int y = to[i];
            if (dis[x] + val[i] < dis[y]) {
                dis[y] = dis[x] + val[i];
                q.push(make_pair(dis[y], y));
            }
        }
    }
}

int main() {
    n = read();
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        addedge(i, (i + 1) % n, 1);
        addedge(i, (i * 10) % n, 0);
    }
    dijkstra(1);
    printf("%d\n", dis[0]);
    return 0;
}