HDU 3037 隔板法 + Lucas 定理

题意

传送门 HDU 3037 Saving Beans

题解

求将不超过 $M$ 的物品划分至 $N$ 个盒子，可以有盒子为空的方案数。设取 $k$ 个物品，应用隔板法，那么方案为 $C_{k+N-1}^{N-1}$。添加一个盒子，编号为 $N+1$，那么这个盒子分到 $k$ 个物品时的方案数，都对应了 $N$ 个盒子分到 $M-k$ 个物品的方案数。那么答案为 $C_{N+M}^M$。预处理阶乘，为了保证计算中存在逆元，应用 $Lucas$ 定理求解组合数。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i, l, r) for (int i = l, _ = r; i < _; ++i)
typedef long long ll;
const int maxp = 100005;
int T, N, M, P, fac[maxp];

int pow_mod(int x, int n)
{
    
    
    int res = 1 % P;
    x %= P;
    while (n)
    {
    
    
        if (n & 1)
            res = (ll)res * x % P;
        x = (ll)x * x % P, n >>= 1;
    }
    return res;
}

int C(int n, int m)
{
    
    
    if (m == 0)
        return 1;
    if (n < m)
        return 0;
    return (ll)fac[n] * pow_mod((ll)fac[m] * fac[n - m] % P, P - 2) % P;
}

int Lucas(int n, int m)
{
    
    
    if (m == 0)
        return 1;
    if (n < m)
        return 0;
    return (ll)C(n % P, m % P) * Lucas(n / P, m / P) % P;
}

int main()
{
    
    
    cin >> T;
    while (T--)
    {
    
    
        cin >> N >> M >> P;
        fac[0] = 1;
        rep(i, 1, P)
            fac[i] = (ll)fac[i - 1] * i % P;
        cout << Lucas(N + M, M) << '\n';
    }
    return 0;
}