斐波那契数列第 n 项的值与递归树节点个数的关系证明

斐波那契数列第 n 项的值 $fib(n)$ 与递归树节点个数 $G(n)$ 的关系证明：

先上结论：$G(n)=2fib(n+1)-1$

我们先看一下斐波那契数列的定义，如下：
$$\begin{array}{r}fib(n)=\{\begin{array}{ll}0& ,n=0\\ 1& ,n=1\\ fib(n-1)+fib(n-2)& ,n\ge 2\end{array}\end{array}$$
先由公式算出几个值，有：
$$\begin{array}{r}fib(0)=0，fib(1)=1，fib(2)=1，fib(3)=2，fib(4)=3，fib(5)=5，fib(6)=8\end{array}$$

以下是暴力递归实现斐波那契数列：

public static int fib(int n) {
    
    
    if (n == 0 || n == 1) {
    
    
        return n == 0 ? 0 : 1;
    } else if (n < 0) {
    
    
        throw new RuntimeException("请输入大于等于0的数");
    }
    return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}

以下是该算法求解的递归树。

设 $G(n)$ 为 $fib(n)$ 的递归树中节点个数，也就是说 $G(n)$ 是调用该函数的次数。

看到该递归树，容易得出：
$$\begin{array}{r}G(0)=1，G(1)=1，G(2)=3，G(3)=5，G(4)=9，G(5)=15\end{array}$$

由数学归纳法容易证明
$$G(n)=G(n-1)+G(n-2)+1，n\ge 2$$
约定 $T(n)=O(G(n))$，
则有：
$$\begin{array}{rl}G(n)=& G(n-1)+G(n-2)+1\\ =& 2G(n-2)+G(n-3)+1+1\\ =& 3G(n-3)+2G(n-4)+1+1+2\\ ⋮& \\ =& fib(k+1)T(n-k)+fib(k)T(n-(k+1))+\sum _{i=0}^{k}fib(i)\end{array}$$

我们知道该数列的递推式如下：
$$fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2),n\ge 2$$

现将其作差使用累加法求和，过程如下：
$$\begin{array}{rl}& fib(n)-fib(n-1)=fib(n-2)\\ & fib(n-1)-fib(n-2)=fib(n-3)\\ & ⋮\\ & fib(2)-fib(1)=fib(0)\end{array}$$
得到以下式子：
$$fib(n)-1=\sum _{i=0}^{n-2}fib(i)$$

令 $n=k+2$ ，即有
$$\sum _{i=0}^{k}fib(i)=fib(k+2)-1$$

ok，到这里，一切都准备就绪，接着把 $G(n)$ 公式写下去就好了。

那么，现在令 $k=n-1$，则

$$\begin{array}{rl}G(n)=& fib(k+1)T(n-k)+fib(k)T(n-(k+1))+\sum _{i=0}^{k}fib(i)\\ =& fib(k+1)T(1)+fib(k)T(0)+fib(k+2)-1\\ =& fib(k+1)+fib(k)+fib(k+2)-1\\ =& 2fib(k+2)-1\\ =& 2fib(n+1)-1\end{array}$$

举个例子，由递归树图中可以看出 $G(5)=15$，

用公式算出 $G(5)=2fib(6)-1=2\times 8-1=15$

可以看出该公式是正确的。

也就是说该暴力递归调用函数的次数为后一个值的 2 倍减 1。