Codeforces1516 C. Baby Ehab Partitions Again（思维，dp, 数学）

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题意:

给定一个序列, 若这个序列任意划分出的两个集合的和都不相等,那么称这个序列为好序列, 否则就判断是否可以通过删除某个值来将其转换为好序列

思路:

对整个序列求和得到sum, 若sum为奇数, 那么无论如何划分, 最后都会划分为一个奇数一个偶数的和, 所以此时该序列一定为好序列

若sum为偶数, 就需要判断是否存在一个子序列可以组成 $\frac{sum}{2}$ 这里需要利用01背包进行处理判断是否可以构成 $\frac{sum}{2}$

一、若不能构成$\frac{sum}{2}$

1. 说明任意一个子序列的和都不会等于 $\frac{sum}{2}$ 所以其互补的部分也一定不会等于$\frac{sum}{2}$, 此时这个序列一定为好序列, 且不需要进行改变

二、若能构成$\frac{sum}{2}$

1. 若序列中含有奇数直接去掉一个奇数项即可
   假设可以将该序列分为 ${a_i}_1$ + ${a_i}_2$ + ${a_i}_3$ + … + ${a_i}_n$ = ${a_j}_1$ + ${a_j}_2$ + ${a_j}_3$ + … + ${a_j}_n$, 若原序列存在一个奇数项, 那么一定在两个序列中的某一个设为t 所以当删去t时 需要 另一侧将要分给删去的一侧 $\frac{t}{2}$ 又因为 t 为奇数, 所以我们无论如何都凑不出$\frac{t}{2}$ 故删去t后一定为好序列

2. 若序列中不含有奇数项, 那么就可以将${a_i}_1$ + ${a_i}_2$ + ${a_i}_3$ + … + ${a_i}_n$ = ${a_j}_1$ + ${a_j}_2$ + ${a_j}_3$ + … + ${a_j}_n$ 转化为 x * (${a_i}_1$ / x + ${a_i}_2$ / x + … ${a_i}_n$ / x) = x * (${a_j}_1$ / x + ${a_j}_2$ / x + … ${a_j}_n$ / x) (设$a_1$ - $a_n$ 的 gcd 为 x) 此时两边序列中至少有一个数为奇数, 若不存在奇数, 那么x一定还要乘以2, 即说明x不为 $a_1$ - $a_n$的gcd 与前提条件矛盾 这样我删除括号内含有奇数一侧的一个奇数项t, 就相当于删去了 t * x 若把x当成一个基数, 就会发现问题转化为了情况二的第一种情况, 删除数字所在另一侧一定是不存在$b_1$ 和 $b_2$ 使得 $b_1$ + $b_2$ = $\frac{t}{2}$ 故只需要删除序列除以gcd后序列中出现的奇数即可

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

using ll = long long;
using PII = pair<int, int>; 
const int N = 2e2 + 5, M = N * 2000;

int n;
int arr[N], dp[M];

int main()
{
    cin >> n;
    int sum = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> arr[i];
        sum += arr[i];
    }
    if (sum % 2) {
        cout << 0 << endl;
        return 0;
    }
    dp[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = sum; j >= arr[i]; j--) {
            dp[j] |= dp[j - arr[i]];
        }
    }
    if (!dp[sum / 2]) {
        cout << 0 << endl;
        return 0;
    }
    int q = arr[1];
    for (int i = 2; i <= n; i++)  {
        q = __gcd(q, arr[i]);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        arr[i] = arr[i] / q;
        if (arr[i] % 2) {
            cout << 1 << " " << i << endl;
            break; 
        }
    }
    return 0;
}