LOJ - 10235. 「一本通 6.6 练习 6」序列统计（组合数学+Lucas定理）

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题目大意

给定三个正整数 $N,L,R$，统计长度在 $1$ 到 $N$ 之间，元素大小都在 $L$ 到 $R$ 之间的单调不降序列的数量。输出答案对 $1e6+3$ 取模的结果。

解题思路

假设是从 $n$ 个数中选出 $m$ 个数，套用经典的计数模型：

若组成单调递增序列，当我们选择了第一个数的时候，后面有 $n-1$ 种选择，选择第二个数的时候，后面有 $n-2$ 种选择…这样最终的方案数目是 $n\ast (n-1)\ast ...\ast (n-m+1)=C_n^m$。但是如果组成单调不降序列，选择第一个数时后面实际上有 $n+m-1$ 种数可以选择（加上了 $m-1$ 个可重复的，选择第二个数时后面有 $n+m-2$ 个数可以选择…这样最终的方案数目显然是 $C_{n+m-1}^m$ 。

综上，设 $m=R-L+1$，则本题的答案是 $C_m^1+C_m^2+...+C_{m+n-1}^n$，由于范围过大显然需要化简为一个公式：

$C_m^1+C_m^2+...+C_{m+n-1}^n=C_{m+n}^n-1$

证明：将这 $n$ 个组合数前面几项写在纸上，发现它是杨辉三角的一个对角线，根据 $C_n^m=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}$，先加上一个 $C_m^0$ 然后减一，这样两两向下递推可以不断约项，最后得到 $C_{m+n}^n-1$。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ENDL "\n"
typedef long long ll;
const int maxn = 1e6 + 10;
const int Mod = 1e6 + 3;

ll qkp(ll x, ll n, ll p) {
    
    
    ll ans = 1;
    x %= p;
    while (n) {
    
    
        if (n & 1) ans = ans * x % p;
        x = x * x % p;
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}

ll inv(ll x, ll p) {
    
      //求逆元
    return qkp(x, p - 2, p);
}

ll cal(ll n, ll m, ll p) {
    
    
    if (m > n) return 0;
    ll u = 1, d = 1;
    for (int i = n - m + 1; i <= n; i++) u = u * i % p;
    for (int i = 1; i <= m; i++) d = d * i % p;
    return u * inv(d, p) % p;
}

ll lucas(ll n, ll m, ll p) {
    
    
    if (!m) return 1;
    return cal(n % p, m % p, p) * lucas(n / p, m / p, p) % p;
}

int main() {
    
    
    ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int T;
    ll n, l, r;
    cin >> T;
    while(T--) {
    
    
        cin >> n >> l >> r;
        ll m = r - l + 1;
        cout << (lucas(n + m, n, Mod) - 1 + Mod) % Mod << endl;
    }
    return 0;
}