CHAPTER_10 提高篇(4)——图算法专题
10.3.1图的遍历—DFS
图的遍历是指对图的所有顶点按一定顺序进行访问。用DFS遍历图，总是以“深度”作为第一关键词，每次都是沿着路径到不能再前进时才退回到最近的岔道口。也就是沿着一条路径直到无法继续前进，才退回到路径上离当前顶点最近的还存在为访问分支顶点的岔道口，并前往访问那些未访问的分支顶点。
例如上面这个例子，沿着V1、V2、V4、V8、V5走至最深，这时候已经无法继续前进了，这个时候回退到最近的V1分岔口，因为V1还有未访问的分支V3，然后同样沿着V3、V6、V7的路径访问走至最无路可走，至此所有顶点访问完毕。
在讲解图的DFS的具体实现前，还需要介绍两个概念：
连通分量：在无向图中，如果两个顶点之间有路径，则称这两个顶点连通。如果G(V,E)的任意两个顶点连通，则图G为连通图；否则，称图G为非连通图，且称其中的极大连通子图为连通分量。
强连通分量：在有向图中，如果两个顶点可以相互到达，则称这两个顶点强连通。如果G(V,E)的任意两个顶点强连通，则图G为强连通图；否则，称图G为非强连通图，且称其中的极大连通子图为强连通分量。
例如下图：图(a)是无向图，V1、V4V5V6V7、V8V9形成了三个连通分量；图(b)是有向图，V1V2V3、V4、V5V6V7V8形成了三个强连通分量。
为了叙述方便，我们暂且将连通分量和强连通分量称为连通块。显然，要遍历整个图，就要对每个连通块进行遍历。如果给定的图是一个连通图或者强连通图，那么只需依次DFS就能遍历完成。遍历的基本思路就是将经过的顶点设置为已访问，下次递归碰到这个顶点时就不会再去处理，直到所有顶点被标记为已访问。
代码实现(邻接表)：
const int maxv=1000; //最大顶点数
vector<int> Adj[maxv]; //图的邻接表实现
bool isArrive[maxv]={0}; //标志顶点i是否被访问
int n; //实际顶点数
void DFS(int u,int depth) { //u为当前访问的顶点标号,depth为深度
isArrive[u]=true; //访问顶点u
//如果要对u进行一些操作,可以在此处进行
for(int i=0;i<Adj[i].size();i++) { //遍历所有u可以到达的顶点
int v=Adj[u][i];
if(isArrive[v]==0) {
DFS(v,depth+1);
}
}
}
void DFSTrave() { //一次DFS只能访问完一个连通块
for(int i=0;i<n;i++) { //遍历所有顶点,访问所有连通块
if(isArrive[i]==0) {
DFS(i,1);
}
}
}下面通过一道例题，来练习图的DFS。
题目：
警方有一批通话记录，其中记录了若干人之间的通话时间。如果A与B有通话时间，则称A与B有关系。如果A与B有关系的同时B与C也有关系，警方就将A、B、C归为一组。通过这种方式警方将它们分为若干组。
现在给定一个值K，只要一个组的总通话时间超过K并且组内人数大于2，就将该组定为“犯罪团伙”，其中通话时间最多的那个人就是头目。现给定通话记录，要求输出“犯罪团伙“的个数，并按头目姓名字典序从小到大的顺序输出每个”犯罪团伙“的头目姓名和成员数。
输入格式：
每个输入包含一个测试用例。对于每个用例，第一行输入两个正整数N和K（N,K<=1000），N表示通话记录的数目，K为阈值。
接下来输入N行，每行包括每段通话的信息：姓名1 姓名2 通话时间，其中姓名由三个字母组成，通话时间是一个小于1000的正整数。
输出格式：
对于每个输入。第一行输出犯罪团伙的数目，接下来按照头目姓名字典序从小到大，每个犯罪团伙单独输出一行，每个犯罪团伙输出其头目姓名和成员人数。
需要注意的是，当没有犯罪团伙时直接输出0即可。
输入样例：
8 59
AAA BBB 10
BBB AAA 20
AAA CCC 40
DDD EEE 5
EEE DDD 70
FFF GGG 30
GGG HHH 20
HHH FFF 10
输出样例：
2
AAA 3
GGG 3
思路：
我们用无向图模型来解决问题，其中每个顶点的点权表示该人的总通话时长，同时还需要抽象出每条边的边权来表示通话时长，每个组在图上表示为连通块。在某些情况下我们要对通话时长进行累加，例如读入A与B通话时间T1，又读入了B与A的通话时长T2，实际在无向图模型上A与B之间只存在一条权值为T1+T2的边。
步骤1-1：首先要解决的问题是姓名与编号的对应关系。我们使用map<string ,int>直接建立字符串与整数的映射。确定好每个姓名对应的编号，我们就能在读入数据时建立相应编号的顶点，并且为数据建立图模型。
步骤1-2：根据题目要求，我们需要获得每个人的通话总时长，实际上就是获得图中每个顶点的权值。我们可以在读入数据时就进行处理，假设读入A与B的通话时长T，那么A与B的点权都增加T。
步骤2-1：进行DFS遍历每个连通块，目的是获得每个连通块的顶点个数、最大权值顶点、边权之和。每个连通块的顶点个数即为递归层数depth；DFS可以设置一个数据maxNode记录该连通块中的最大权值顶点。
步骤2-2：在DFS中，我们还要获得该连通块的边权之和，这实际上就是该连通块上所有顶点的点权之和的1/2(想想为什么？)。
步骤3：每次DFS遍历完一个连通块，判断是否为犯罪团伙。如果是，则将该连通块信息存储下来，同时犯罪团伙数加1。
需要注意的是，题目要求输出按头目姓名字典序由小到大，我们可以使用map<string,int>才存储每个犯罪团伙信息，这样map自动按键值string递增排序了。
参考代码：
其实本题也可以用并查集解决，在使用并查集时，要注意合并时总是保持点权更大的节点为集合的根节点。同时为了记录总边权和总人数，需要定义数组来存放。这里留作自行思考。
#include<iostream>
#include<string>
#include<map>
#include<vector>
#include<utility>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=2010; //最大顶点数
int n,k,nodeNum=0; //n为通话记录,k为阈值,nodeNum为当前顶点个数
int depth,sum; //depth记录顶点数,sum记录点权之和
bool isArrive[maxn]={0}; //记录每个顶点是否被访问
map<int,string> intToString;
map<string,int> stringToInt; //姓名和编号间的转换
map<string,int> gang; //记录犯罪团伙
pair<int,int> maxNode; //maxNode记录每个连通块头目,第一个值表示顶点编号，第二个值表示权
struct graph { //图的邻接表
int nodeW; //点权
vector<int> Adj; //记录每个顶点的边
}G[maxn];
int change(string str) { //将姓名str转换为整数编号
map<string,int>::iterator it=stringToInt.find(str);
if(it!=stringToInt.end()) { //如果str已经出现过
return it->second; //返回str对应的整数
}
else {
stringToInt[str]=nodeNum; //str对应nodeNum
intToString[nodeNum]=str; //nodeNum对应str
return nodeNum++; //返回当前编号,之后顶点数加1
}
}
void DFS(int u,int &depth) { //一次DFS递归遍历一个连通块,depth为递归深度
isArrive[u]=1; //设置u已经访问
sum+=G[u].nodeW; //将点权累加
if(G[u].nodeW>maxNode.second) { //更新最大权值顶点编号
maxNode.first=u;
maxNode.second=G[u].nodeW;
}
for(int i=0;i<G[u].Adj.size();i++) { //遍历u的所有边
int v=G[u].Adj[i];
if(isArrive[v]==0) { //如果邻接点v没有访问
DFS(v,++depth); //递归进入下一层
}
}
}
int main() {
string str1,str2;
int w;
cin>>n>>k;
for(int i=0;i<n;i++) { //为输入数据创建图模型
cin>>str1>>str2>>w;
int id1=change(str1); //获得str1对应的编号
int id2=change(str2); //获得str2对应的编号
G[id1].nodeW+=w; //id1号顶点点权增加w
G[id2].nodeW+=w; //id2号顶点点权增加w
if(find(G[id1].Adj.begin(),G[id1].Adj.end(),id2)==G[id1].Adj.end()) { //如果id1的邻接表中没有到id2的边
G[id1].Adj.push_back(id2); //将到id2的边加入id1的邻接表
}
if(find(G[id2].Adj.begin(),G[id2].Adj.end(),id1)==G[id2].Adj.end()) { //如果id2的邻接表中没有到id1的边
G[id2].Adj.push_back(id1); //将到id1的边加入id2的邻接表
}
}
for(int i=0;i<nodeNum;i++) { //遍历每个顶点
if(isArrive[i]==0) { //如果顶点i未被访问
depth=1;
maxNode=make_pair(0,0);
sum=0; //每次遍历新连通块前将depth,maxNode,sum初始化
DFS(i,depth); //i所在连通块遍历完毕
sum=sum/2; //该连通块总边权等于总点权的一半
if(sum>k&&depth>2) { //如果是犯罪团伙
gang[intToString[maxNode.first]]=depth; //将犯罪团伙头目名字和人数记录
}
}
}
cout<<gang.size()<<endl; //按格式输出信息
if(gang.size()!=0) {
for(map<string,int>::iterator it=gang.begin();it!=gang.end();it++) {
cout<<it->first<<' '<<it->second<<endl;
}
}
return 0;
}