CHAPTER_9 提高篇(3)——数据结构(2)
9.4.1二叉查找树的定义
二叉查找树(BST)是一种特殊的二叉树，又称为二叉排序树、二叉搜索树。二叉查找树的定义如下：
（1）要么二叉查找树是一颗空树。
（2）要么二叉查找树由根节点、左子树、右子树构成。其中左子树和右子树都是二叉查找树，且 左子树上所有节点的数据域均小于等于根节点的数据域，右子树上所有节点的数据域均大于 根节点的数据域。
上图给出了一个BST的例子。从图中可以看出，二叉查找树实际上是一棵数据域有序的二叉树。如果对BST进行中序遍历，就可以得到一个递增的序列。
9.4.2二叉查找树的基本操作
二叉查找树的基本操作有查找、插入、建树、删除。这些操作过程是基于一般二叉树改造而来的。
查找操作
二叉查找树的性质使得二叉树可以高效的查找元素，查找过程将会是从根节点到查找节点的一条路径。最坏复杂度为O(h)，h为树的高度。查找数据x的基本思路如下：
（1）如果当前根节点为空，查找失败，返回。
（2）如果x等于当前根节点的数据域，说明查找成功，访问之。
（3）如果x小于当前根节点的数据域，说明x可能在左子树，向左子树递归。
（4）如果x大于当前根节点的数据域，说明x可能在右子树，向右子树递归。
代码如下：
void search(node* root,int x) {
if(root==NULL) {
cout<<"failed"<<endl;
return;
}
if(x==root->data) {
cout<<root->data;
}
else if(x<root->data) {
search(root->lchild,x);
}
else {
search(root->rchild,x);
}
}插入操作
与二叉树的插入类似，二叉查找树的插入同样是个查找的过程。当某个值在BST中查找成功，说明节点已经存在，如果查找失败，说明查找失败的地方一定是节点需要插入的地方。因此插入代码只需在查找的基础上稍作修改。
代码如下：
void insert(node* &root,int x) { //注意root参数一定要引用
if(root==NULL) { //查找失败，新建节点进行插入
root=newNode(x);
return;
}
if(x==root->data) { //节点已存在
return;
}
else if(x<root->data) { //插入位置在左子树
insert(root->lchild,x);
}
else(x>root->data) { //插入位置在右子树
insert(root->rchild,x);
}
}二叉查找树的建立
建树的过程就是节点一个个的插入的过程，和一般二叉树的建立是一样的。
代码如下：
void create(int data[],int n) {
node* root=NULL;
for(int i=0;i<n;i++) {
insert(root,data[i]);
}
return;
}二叉查找树的删除
二叉查找树的删除操作稍显复杂。如下图，我们要删除节点3，我们必须保证删除后仍是一棵二叉查找树。
在讲解删除操作之前，我们先要理解节点的前驱和后继概念。把二叉查找树中比节点权值小的最大节点称作该节点的前驱，而比节点权值小的最大节点称作该节点的后继。例如上图中，节点3的前驱为2，后继为4。可以看出，节点的前驱是该节点的左子树中的最右节点，而后继是该节点的右子树中的最左节点。
因从我们可以用下面两个函数来寻找某BST的最大节点和最小节点，依次来辅助寻找某节点的前驱和后继：
//寻找某BST中的最大权值节点
node* finMax(node* root) {
while(root->rchild) {
root=root->rchild; //不断向右，找到最右的节点
}
return root;
}
//寻找某BST中的最小权值节点
node* finMin(node* root) {
while(root->lchild) {
root=root->lchild; //不断向左，找到最左的节点
}
}接下来可以我们来看如何在BST中删除一个节点。假设我们要在BST中删除节点N。我们可以用节点N的后继P来替换节点N，于是就把问题转换为在N的右子树中删除P，就可以递归下去了，直到递归到一个叶子节点，就可以把它删除了。同样地，我们也可以用后继节点来代替N。例如上图中，我们用后继4来代替节点3。
删除节点x操作的基本思路如下：
（1）如果当前节点root为空，说明不存在权值为x的节点，返回。
（2）如果当前节点权值为x，说明找到元素，此时进入删除处理。
（a）如果当前节点root不存在左右孩子，说明是叶子节点，直接删除。
（b）如果当前节点存在左孩子，则进入左子树中寻找前驱pre，然后让pre的数据覆盖root， 接着在左子树中删除节点pre。
（c）如果当前节点root存在右孩子，则进入右子树寻找后继next，然后让next的数据覆盖 root,接着在右子树中删除next。
（3）如果当前节点root的权值大于给定权值x，则在左子树中递归删除权值为x的节点。
（4）如果当前节点root的权值小于给定权值x，则在右子树中递归删除权值为x的节点。
代码如下：
void deleteNode(node* &root,int x) {
if(root==NULL)
return;
if(root->data==x) {
if(root->lchild==NULL&&root->rchild==NULL) {
delete root;
root==NULL;
}
else if(root->rchild) {
node *next=findMin(root->rchild);
root->data=next->data;
deleteNode(root->rchild,next->data);
}
else(root->lchild) {
node *pre=findMax(root->lchild);
root->data=pre->data;
deleteNode(root->lchild,pre->data);
}
}
else if(root->data>x) {
deleteNode(root->lchild,x);
}
else {
deleteNode(root->rchild,x);
}
}