相似性和相异性的度量
相似度：两个对象之间的相似度（similarity） 的非正式定义是这两个对象相似程度的数值度量。因而，两个对象越相似，它们的相似度越高。通常，相似度是非负的，并常常在0（不相似）和（完全相似）之间取值。
相异度：两个对象之间的相异度是这两个对象差异程度的数值度量。对象越相似，它们的相异度就越低。通常，术语距离（distance）用作相异度的同义词。有时，在区间【0,1】中取值，但在0和∞之间取值也很常见
本节，我们介绍广泛用于计算数值属性刻画的对象的相异性的距离度量。这些度量包括欧几里得距离、曼哈顿距离和闵可夫斯基距离。
在某些情况下，在计算距离之前数据应该规范化。这涉及变换数据，使之落入较小的公共值域，如［-1，1］或［0.0,1.0］。例如，考虑 height（高度）属性，它可能用米或英寸测量。一般而言，用较小的单位表示一个属性将导致该属性具有较大的值域，因而趋向于给这种属性更大的影响或 “权重”。规范化数据试图给所有属性相同的权重。在特定的应用中，这可能有用，也可能没用。数据规范化方法在第3章数据预处理中详细讨论。
最流行的距离度量是欧几里得距离（即，直线或“乌鸦飞行”距离）。令i=（xi1，xi2，…，xip）和j=（xj1，xj2,…，xjp）是两个被p个数值属性描述的对象。对象i和j之间的欧几里得距离定义为：
另一个著名的度量方法是曼哈顿（或城市块）距离，之所以如此命名，是因为它是城市两点之间的街区距离（如，向南2个街区，横过3个街区，共计5个街区）。其定义如下：
欧几里得距离和曼哈顿距离都满足如下数学性质：
非负性：d(i，j)≥0：距离是一个非负的数值。
同一性：d(i，i）=0：对象到自身的距离为0。
三角不等式：d(i，j)≤d(i，k）+d(k，j)：从对象i到对象j的直接距离不会大于途经任何其他对象k的距离。
满足这些条件的测度称做度量（metric）1 。注意非负性被其他三个性质所蕴含。
例2.19 欧几里得距离和曼哈顿距离。令x1=(1，2）和x2=(3，5)表示如图2.23所示的两个对象。两点间的欧几里得距离是
。两者的曼哈顿距离是2+3=5。
闵可夫斯基距离（Minkowski distance）是欧几里得距离和曼哈顿距离的推广 ，定义如下：
其中，h是实数，h≥1。（在某些文献中，这种距离又称Lp范数（norm），其中p就是我们的h。我们保留p作为属性数，以便于本章的其余部分一致。）当p=1时，它表示曼哈顿距离（即，L1范数）；当p=2表示欧几里得距离（即，L2范数）。
上确界距离（又称Lmax,L∞范数和切比雪夫（Chebyshev）距离）是h→∞时闵可夫斯基距离的推广 。为了计算它，我们找出属性f，它产生两个对象的最大值差。这个差是上确界距离，更形式化地定义为：
L∞范数又称一致范数（uniform norm）。
例2.20 上确界距离。让我们使用相同的数据对象x1=(1，2）和x2=(3，5)，如图2.23所示。第二个属性给出这两个对象的最大值差为5-2=3。这是这两个对象间的上确界距离。
如果对每个变量根据其重要性赋予一个权重，则加权的欧几里得距离可以用下式计算：
加权也可以用于其他距离度量。
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1 在数学文献，特别是在测度论中，measure被译为“测度”，metric被译为“度量”。在计算机科学文献中，metric很少用，而 measure通常译为“度量”。仅当measure和metric同时出现时，我们才按照数学的习惯翻译，而在其他情况下，我们采用计算机科学的传统译 法。——译者注
二元数据的相似度
1.SMC（Simple Matching Coefficient 简单匹配系统树）
2.Jaccard系数（Jaccard Coefficient）
3.余弦相似度
4.广义Jaccard系数
5.皮尔森相关
6.Bregman三度