今天论文赏析系列介绍文章为Laplacian Surface Editing。这篇文章比较牛的地方除了较高的引用量外，还有就是作者的阵容，这个会在下面详细介绍。该文章基于intrinsic property概念，在曲面定义了一个点的邻域邻接关系。基于这样一种邻接关系，定义Laplacian算子，可以实现曲面的编辑，曲面到曲面的几何特征转换和混合，以及曲面的移植。所有的操作都在一个稀疏的线性方程组中完成。这些编辑操作能够在实现曲面编辑的同时，保持局部的曲面细节。
1. 作者介绍
Laplacian surface editing: Sorkine O, Cohen-Or D, Lipman Y, et al. Laplacian surface editing[C]. Proceedings of the 2004 Eurographics/ACM SIGGRAPH symposium on Geometry processing. 2004: 175-184.
该文的第一作者为Olga Sorkine-Hornung教授，合作者包括Daniel Cohen-Or教授，Yaron Lipman教授以及Marc Alexa教授等。这几位都是图形学界的泰斗级学者，对于一些基础的网格与点云分析，均有极其重要的贡献。尤其是Daniel Cohen-Or教授，获得Siggraph2018计算机图形学杰出贡献奖。其与Marc Alexa合作的MLS曲面重建理论，对于解决点云重建的一些基本问题，起到了极大的作用。在一篇文章中集合了这么多大牛，确实比较罕见，可见这项工作的重要性。
2. 文章摘要
Laplacian曲面编辑是一项针对网格编辑的技术。本文中，引入了intrinsic property概念，即将编辑看作是在曲面上的操作而不依赖于欧氏空间的坐标表示。Laplacian对曲面的表示，对局部刚性变换和缩放具有不变性。基于Laplacian表示，作者建立了功能强大的编辑算子，以实现网格编辑，几何特征迁移与融合，还有曲面移值。因为具有intrinsic property，这种编辑不会依赖于空间，因此便于表示和操作。该技术可以被视为对网格编辑的一个基础性工具。主要的计算量集中在求解一个稀疏线性系统，效率较高。
3. 背景介绍
对于一些多分辨率网格，其几何特征被表示为一个基础的网格和几个level的细化。这些细化是被在局部区域描述的，所以大部分几何特征被描述在一个离散的内蕴坐标系统中。本文的方法是提供一种微分坐标以实现对网格曲面的内蕴化表示，这样使得在较大的重建后，局部的几何特征得以保存。该思路在图像编辑上已有成功应用，因为图像拥有天然的参数域表示形式，一般可以等同于一个解discrete Poisson equation的过程。但这不能直接应用于曲面。本文的方法是将每一个顶点关联与他对应的拓扑邻域的中点。带你坐标与其拓扑邻域中心的差称为Laplacian坐标。Laplacian坐标是一个全局网格几何的线性方程，能够利用稀疏的线性系统，在全局坐标和内蕴坐标两者之间实现高效的转换。Laplacian坐标具有位移不变性，但对尺度和旋转敏感。
本文提出一种新的技术，可以使得Laplacian坐标对旋转和isotropic的尺度变换鲁棒。这尽可能的保存了内蕴几何特征在模型重建过程中。总结该文的贡献为：旋转尺度鲁棒性；在曲面编辑中实现细节保留；几何特征转移；直接移植拓扑边界一致的曲面。
4. 技术实现
对于一些多分辨率网格，其几何特征被表示为一个基础的网格和几个level的细化。这些细化是被在局部区域描述的，所以大部分几何特征被描述在一个离散的内蕴坐标系统中。本文的方法是提供一种微分坐标以实现对网格曲面的内蕴表示与编辑。
一个Mesh被表示为(K,V)，K表示边，V表示点坐标，一个点的邻域表示为一组邻接点的集合N_i, d_i为度，表示N_i的元素数。相比于V，给出一组Laplacian坐标
表示方法：
可以看到一点的坐标V被他的邻居所重构。V与其对应的Laplacian坐标表示的互相转换，可以通过一个矩阵代数实现。设A为网格的邻接矩阵，D为网格的度矩阵，
，
矩阵L一般被认为是网格的Laplacian算子，这也是为什么被称为是Laplacian坐标的原因。Laplacian坐标拥有平移不变性，但是对线性变换敏感。L的rank为n-1，意味着V能够通过解一个线性返程，从恢复。
那么本文所述的建模算子是通过固定一些点的前提下，来恢复。我们已经知道的是，通过固定一个点就能够恢复V。如果固定了一组点，那么对V的恢复一定是会产生一些误差的。我们希望最小化误差，并得到一个解。这个解就是我们希望求的对网格坐标编辑后的结果。这里给出误差公式：
通过最小化该能量以得到一组合适的解。但是这里有一个问题，就是laplacian坐标对线性变换敏感，因此需要解决旋转和缩放的问题。本文的方法是为每一个点计算一个基于新坐标V‘的拟合变换T，以得到适配结果。T为针对于V’的函数，由此推出新的最小化能量表示：
注意这里的V’和T都是未知的，但是如果T的关联系数由V‘表示，那么求V’自然推出T：
这是一个二次表达式，最小化结果是一个V‘的线性方程，但是如果对T不加以限制，自然的最小值将会是一个无矩解(原文membrane solution，不明白啥意思)。这会导致几何信息的丢失。T需要被限定。T需要包括旋转，isotropic的尺度和平移。特别的，我们不允许anisaotropic尺度的发生，因为这会允许从Laplacan坐标中移除法向量。（注：这里我的理解是增加了T作为shape的限制，使得在给定的点发生线性变换时，新的结果可以具有保形的特性。我直观的感觉这里有点繁琐，似乎可以选择用更简洁的方式实现保形的要求）
T的转换部分通过homogeneous coordinates（齐次坐标）实现，线性部分需要满足一下一些要求：变换应该是根据目标条件的一个线性方程，受到isotropic尺度和旋转的约束。对约束的度量可以表示为：
H是一个斜对称矩阵。在3D下，H模拟一个叉积
整合几个属性要求，T表示为：
Ti可以写成：
到这里我就不是很懂了，这里应该是变换矩阵对尺度缩放和旋转的一些控制，接下来给出文章提供的求解过程：
求解线性最小二乘问题：
Ai和bi分别包含已知和未知的点Vi和Vi‘
这里感觉Ti的求解过程比较偏向于特定约束下的优化，对于优化，我的基础知识确实一般，但是大的流程基本可以按照上述的步骤有一个粗浅的认知。
有了上述的变换，我们就能够通过改变一些点的位置，来实现对网格的编辑，如下图所示：
在特征组合与工程实现上，文章还介绍了一些小细节，但是这里就不再展开了。
5. 总结
Intrinsic的坐标系统对于实现对模型的各种操作，起到了非常神奇的作用，这让我们对模型实现变换或编辑的时候，能够将模型的表示剥离出坐标系统，进而获得对平移，旋转，缩放的不变性。这让用户能够专注于对intrinsic的几何特征的分析，而不用考虑坐标系统，模型的位置以及姿态是什么样的。这项技术广泛应用于三维编辑软件中。