6 Some incomplete constraint solvers

Q: 解释“‘customise’ the general framework to a specific language”
A: 提示：比如：用hyper-arc consistency能剪掉一些定义域，但是剪了之后的集合不好表示，这就不行。
interval arithmetics就有这类问题，所以最后取了各个区间的凸包。

6.1 A useful lemma

Q: hyper-arc consistency和domain reduction有何联系？
A: 回忆上一章内容：reduction（剪枝）分为剪定义域和剪约束，其中利用单个约束剪定义域的最一般情况就是hyper-arc consistency.
hyper-arc consistent CSP不可能再通过单个约束剪任何定义域。
Q: 如何理解“the HYPER-ARC CONSISTENCY rule is the strongest.”
A: 在所有使用单个约束剪定义域的方法中，该规则是最强的（即可以达到理论上最优的定义域缩减效果）
在具体问题中，如果使用其它办法达到了hyper-arc consistency，那也就是达到某种意义的“最强”“最优”了。

Q: 对于proof system EQU，涉及相等的可以使用集合的交，涉及不等的却只考察了 $y = a$ 或 $x = a$ 的情况，没有对一般的 $x = y$ 情况给出剪枝规则，这为什么没有影响其最优性？
A: 这是一个具有误导性的问题。
注意， $x\ne y, x\in\{0,1\},y\{1,2\}$ 是剪不了的。只要定义域中至少有2个元素，不等约束就剪不了。
Q: 为什么说EQU是不完全的？
A: 例如 $x=y,x\ne y$ 造成的矛盾其无法捕捉到，则closed under the rules时既不成功也不失败。
回忆：

to bring the initial CSP to some specific, simpler form that usually satisfies some specific local consistency notion.

Q: propositional formula $x\wedge y$ 就是AND constraint吗？
A: 不是。AND constraint指的是 $x\wedge y = z$ ，而propositional formula实际上相当于指定某表达式为1，即 $x\wedge y = 1$ .
Q: 通过有限次、equivalence preserving的Preprocess过程，可以得到形式（）
A: 所有约束都形如 $x=y,\neg x=y,x\wedge y=z,x\vee y=z$ . 注意其中 $x, y, z$ 都是布尔变量，而非一般的布尔表达式。过程中可能引入许多新的变量。
Q: 如何理解“each of these rules can yield a failed CSP”. 明明没有看到任何 $\perp$ 啊？
A: $x = 1$ 是定义域，而不是约束。因为1是domain element. 所以如果定义域缩减到空就是fail.
Q: BOOL system在什么意义下有最优性？
A: 其能达成hyper-arc consistency（暴力讨论可证明），而删除其任意一条规则就不能了。