约束式编程学习笔记[9] 涉及数的不完全求解器

6 Some incomplete constraint solvers

6.4 Linear constraints on integer intervals

0. Q: 本节中的linear expression为什么不需要乘法运算？
   A: 由于只考察整数和“整数倍”，故用不断复合加法表示乘法。

6.4.1 - 6.4.2

0. Q: “By combining the corresponding domain reduction rules for these two inequality constraints we obtain a domain reduction rule for an equality constraint.”是否形如 [ a . . b ] ∩ [ b . . c ] = { b } [a..b]\cap [b..c]=\{b\} [a..b]∩[b..c]={ b}？
   A: 不对。提示：$\ge ,\le$两条中，一个对正系数对应变量取上界，对负系数对应变量取下界；另一个反之。所以两个区间有长度非零的重合区间。
1. Q: 这两节中，唯一一处出现除法但没有取整运算的规则是什么？提示：等号，一个变量。
   A: $ax=b$时，可以直接看$b/a$是否在定义域中，从而直接给出$x$取值或者得到fail.

6.4.3 - 6.4.6

0. Q: 如何处理严格不等式？
   A: $s<t$等价于$s\le t,s\ne t$.
1. Q: “an arbitrary element can be removed from a domain, not only the ‘boundary’ one”描述的是什么？
   A: finite domains相比intervals所具有的优势：在处理$x\ne a$时，可以直接从$D_x$中删去一个元素。（无论是否在边界）
2. Q: 处理SEND+MORE=MONEY时，$[2..8]$从何而来？
   A: 显然$M=1,S=9,O=0$，此时可以直接排除掉位于$[0..9]$边界的三个数。
3. Q: 接上，直观上看，为什么$E,N$被剪得多，$D,R,Y$被剪得少？
   A: 提示：$E,N$分别是等式左右两边系数最大的未确定数值的变量。“没人帮它们顶着”。
4. Q: 解说“The other eighteen simple disequality constraints are solved.”
   A: 原本$C_8^2=28$，确定三个数$S,M,O$，且它们恰好取的都是靠边的值，所以可以直接在另外五个变量的定义域中删去$0,1,9$，于是现在只需要$C_5^2$个disequality. 其余18条已经多余，所以可以删除了。

6.4.7 - 6.4.8

0. Q: LINEAR EQUALITY等规则没有考虑涉及“整除性”的东西，所以得到的显然比hyper arc consistency弱。那么本节加强的interval consistent和bound consistent哪个考察了整除性从而更强呢？
   A: 对整数CSP的interval consistent.
   注意：根据定义，整数CSP的bound consistent是某实数CSP的interval consistent.
1. Q: 凸性和hyper-arc consistent有何联系？
   A: 对于实数CSP，由于解集是凸集，故仅通过控制上下界即可到达hyper-arc consistent（相比之下，整数CSP有整除问题所以麻烦得多）
   （注：对于等式和不等式，都可以通过控制上下界到达实数CSP的hyper-arc consistent）

6.5 Arithmetic constraints on integer intervals

6.5.1 - 6.5.3

0. Q: 简要描述在涉及一般的Arithmetic constraints时剪定义域的一些典型困难。
   A: （合理即可）
   没有显式表示（根式解）导致$x\le f(x,y,z)$，右侧不能去除$x$. 从而导致难剪（$x$本来定义域就很大的话，$f(\cdot )$值域还是很大）
   涉及0以及和0相关的分类讨论。（偶数次幂）
   涉及分母相关的分类讨论。（如$xy\le z$）
   表达式范围太大导致剪不了。
1. Q: 引入辅助变量为什么有助于剪定义域？提示：新增分类标准。
   A: 除了对original variables定义域二分，还可以对辅助变量定义域二分。（多了一些分类标准，使得分类不一定只能“正交”着进行）
2. Q: 解说“To estimate the right-hand side we now need a double case analysis on x and z. This leads to nine cases”
   A: 分别考虑0与定义域关系，3*3=9（凡是偶数次幂显然都要作此讨论）
3. Q: 多项式中无非就是加法和乘法，所以可以把一般的约束变成线性约束或者（）。为了解决复杂的分类讨论，为什么按此方法引入许多辅助变量会有帮助？
   A: $xy=z$（思考：此处为什么没有必要引入一般的6种运算符？）
   提示：拆成许多子过程，每个子过程分类都不是很多（比如为定值2），总的（能表达的）类数与子过程的个数就成指数关系（例如$2^n$）。
4. Q: 解说“The problem of an appropriate characterisation of the MULTIPLICATION rules remains then open.”
   A: 现在由于对非凸集（如区间相除结果）取了凸包，所以这方法现在也不行了。
   这个问题是arithmetic特有的。因为linear处不涉及对非凸集合取凸包。

6.5.4 - 6.5.5

0. Q: 说明implementation时区间除法需要的特别处理。
   A: 由于涉及0，故需要进行许多分类讨论。
   即使确认不涉及0，由于可能得到非整数（以及整除问题），故最终也不妨进一步（分别从小到大和从大到小）枚举讨论确定更精准的剪枝结果。
1. Q: 引入更多变量（）（填“升高”或“降低”，下同）耦合程度，从而（）了剪定义域能力，比如$x^3\le 1000,x\in [1..1000]$.
   把区间改成一般的有限集（）了语言的表达能力，（）了剪定义域能力，但（）了分类讨论难度，（）了效率。
   A: 降低，降低，升高，升高，升高，降低。

6.6 Arithmetic constraints on reals

6.6.1 - 6.6.3

0. Q: 实数相比整数多了开闭区间的问题。为什么要引入$⟨⟩$记号？
   A: 便于处理关于无穷的问题（涉及无穷时始终挖去，但有限时始终表示含端点值）
   注：为什么不直接全部用开区间表示？因为此时不便于表示单元素集。
1. Q: 由于实数区间相比整数区间来说多了凸性，所以实数区间四则运算造成非凸的可能性只有（）。
   A: 除数区间包含0
   注：当然，还有可能“挖掉边界的0”，这不影响凸性，但影响开闭。我们定义$int(\cdot )$运算结果是凸包的闭包。
2. Q: 相比整数情况，实数情况可以使用（）这类区间，因此容易将（）转化为等式和$\ne$.
   A: $⟨-\infty ,0⟩$，$>,<,\ge ,\le$
3. Q: 由于非凸性仍存在，所以（）consistency和整数情况类似进行论证，也不适用于实数。
   A: interval
4. Q: 添加$+\infty ,-\infty$的实数集的算术运算中，无定义的情况分为（）和（）两种。为什么不认为$1/0=+\infty$？
   A: 不定式（四则运算都有不定式），除以0
   0没有分正0和负0（计算机浮点数表示中其实有，但此处我们理论中没有区分）
5. Q: 解说“The appropriate result for the multiplication operation requires only the categories P, M, N and Z of Table 6.4.”的“only”.
   A: 提示：乘法比加减法需要分类讨论得更多，除法比乘法需要得又更多。所以形成了分类的树结构，乘法不需要全部叶子。

6.6.4 - 6.6.5

0. Q: 如何处理浮点数带来的问题？
   A: 使用outward rounding：对于非浮点数区间，取包含它的最小的浮点数区间。其具体实现细节不在本书范围。
1. Q: 6.6.5中哪些问题是实数相比整数特有的？
   A:
   Interval Division中涉及0的问题与整数相同。
   Additional Interval Operations涉及的问题和整数相同（整数情况也有可能特别解释$x^2$提高效率等）
   Convergence中，$x-y=1,y-x=1$带来的问题并不是实数相比整数本质地特有的。它只是因为我们在整数处没有考虑$[-\infty ..n]$这种区间。
   而$x-y=0,x-2y=0$这种是特有的。
   Choice of atomic constraints的问题与整数相同：太少的atomic种类导致效率下降，不能显式表达的atomic不能导出好用的规则，等等。
   Choice of transformations into atomic constraints中dependency problem类似于之前涉及$x^2$的问题，是共有的。
   Choice of the function representation是共有的。

6.7 Arithmetic equations over reals

0. Q: 如何理解“In contrast to the other incomplete constraint solvers discussed in this chapter, the one discussed here is not based on the domain reduction rules but rather on the transformation rules.”
   A: 本节讲的求解器（或说化简算法）相比之前的，出发点不同。之前的基于剪定义域，而这里的基于代入法。它们都从某个角度上能一定程度化简问题，但不足以解决问题。