欧拉函数求互质的个数
当时在res = res - res / i 出没有想明白， 其实是挺简单的， 就是一个公式， &(n) = n * (1 - 1 / p1) * (1 - 1 / p2) * … (1 - 1 / pr);
每次是res等于n，那么只更新res， 那么为什么不用n呢， 因为n有更大的用处， 那就是判断终点， 那什么是重点呢 ？ 其实就是咱们要用的素数大于n的时候， 就应该停止了， 但是每次n的值是要更新的， 要更新到不能被本次的值乘以某个数得到， 意思是， 咱们的素数只用一次， 而且要把这个素数的k次幂全部用掉， 其实就是再以后不再用它了；
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
int euler(int n)
{
int res = n;
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
if (n % i == 0)
{
res = res - res / i;
while (n % i == 0)
{
n /= i;
}
}
}
return res;
}
int main(void)
{
int n;
scanf("%d", &n);
printf("%d\n", euler(n));
return 0;
}
以下代码是https://blog.csdn.net/wrwhahah/ 的博主的：
请思考以下问题：
任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？（比如，在1到8之中，有多少个数与8构成互质关系？）
计算这个值的方法就叫做欧拉函数，以φ(n)表示。在1到8之中，与8形成互质关系的是1、3、5、7，所以 φ(n) = 4。
φ(n) 的计算方法并不复杂，但是为了得到最后那个公式，需要一步步讨论。
第一种情况
如果n=1，则 φ(1) = 1 。因为1与任何数（包括自身）都构成互质关系。
第二种情况
如果n是质数，则 φ(n)=n-1 。因为质数与小于它的每一个数，都构成互质关系。比如5与1、2、3、4都构成互质关系。
第三种情况
如果n是质数的某一个次方，即 n = p^k (p为质数，k为大于等于1的整数)，则
比如 φ(8) = φ(2^3) =2^3 - 2^2 = 8 -4 = 4。
这是因为只有当一个数不包含质数p，才可能与n互质。而包含质数p的数一共有p^(k-1)个，即1×p、2×p、3×p、...、p^(k-1)×p，把它们去除，剩下的就是与n互质的数。
上面的式子还可以写成下面的形式：
可以看出，上面的第二种情况是 k=1 时的特例。
第四种情况
如果n可以分解成两个互质的整数之积，
n = p1 × p2
则
φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)
即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。比如，φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24。
这一条的证明要用到"中国剩余定理"，这里就不展开了，只简单说一下思路：如果a与p1互质(a<p1)，b与p2互质(b<p2)，c与p1p2互质(c<p1p2)，则c与数对 (a,b) 是一一对应关系。由于a的值有φ(p1)种可能，b的值有φ(p2)种可能，则数对 (a,b) 有φ(p1)φ(p2)种可能，而c的值有φ(p1p2)种可能，所以φ(p1p2)就等于φ(p1)φ(p2)。
第五种情况
因为任意一个大于1的正整数，都可以写成一系列质数的积。
根据第4条的结论，得到
再根据第3条的结论，得到
也就等于
这就是欧拉函数的通用计算公式。比如，1323的欧拉函数，计算过程如下：
请思考以下问题：
任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？（比如，在1到8之中，有多少个数与8构成互质关系？）
计算这个值的方法就叫做欧拉函数，以φ(n)表示。在1到8之中，与8形成互质关系的是1、3、5、7，所以 φ(n) = 4。
φ(n) 的计算方法并不复杂，但是为了得到最后那个公式，需要一步步讨论。
第一种情况
如果n=1，则 φ(1) = 1 。因为1与任何数（包括自身）都构成互质关系。
第二种情况
如果n是质数，则 φ(n)=n-1 。因为质数与小于它的每一个数，都构成互质关系。比如5与1、2、3、4都构成互质关系。
第三种情况
如果n是质数的某一个次方，即 n = p^k (p为质数，k为大于等于1的整数)，则
比如 φ(8) = φ(2^3) =2^3 - 2^2 = 8 -4 = 4。
这是因为只有当一个数不包含质数p，才可能与n互质。而包含质数p的数一共有p^(k-1)个，即1×p、2×p、3×p、...、p^(k-1)×p，把它们去除，剩下的就是与n互质的数。
上面的式子还可以写成下面的形式：
可以看出，上面的第二种情况是 k=1 时的特例。
第四种情况
如果n可以分解成两个互质的整数之积，
n = p1 × p2
则
φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)
即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。比如，φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24。
这一条的证明要用到"中国剩余定理"，这里就不展开了，只简单说一下思路：如果a与p1互质(a<p1)，b与p2互质(b<p2)，c与p1p2互质(c<p1p2)，则c与数对 (a,b) 是一一对应关系。由于a的值有φ(p1)种可能，b的值有φ(p2)种可能，则数对 (a,b) 有φ(p1)φ(p2)种可能，而c的值有φ(p1p2)种可能，所以φ(p1p2)就等于φ(p1)φ(p2)。
第五种情况
因为任意一个大于1的正整数，都可以写成一系列质数的积。
根据第4条的结论，得到
再根据第3条的结论，得到
也就等于
这就是欧拉函数的通用计算公式。比如，1323的欧拉函数，计算过程如下：