Codeforces Round #695 (Div. 2) D. Sum of Paths（dp）

D. Sum of Paths

题意

一共有 $n$ 个格子，每个格子都有一个值 $a_i$。一开始可以在任意一个格子放置一个机器人，机器人精确的走 $k$ 步经过 $k+1$ 个格子，走过一个格子产生 $a_i$ 的贡献，问所有不同的走法产生的总贡献，有 $q$ 次询问，每次询问都可以修改一个格子的值。

题解

先预处理出所有走法每个格子会被走的次数总和，然后每次询问 $O(1)$ 计算即可。

• $dp[i][j]$ 表示第 $j$ 步走到第 $i$ 个格子的情况数量；
• 初始化 $dp[i][0]=1$ ；
• 转移方程 $dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i+1][j-1]$ ，即通过一步从相邻格子转移来；
• 那么走 $j$ 步恰好到达第 $i$ 个格子的情况数为 $dp[i][j]$ ，但是一共要走 $k$ 步，并且从第 $i$ 个格子走 $k-j$ 步的情况数量等于从任意格子走 $k-j$ 步恰好到达第$i$ 个格子的情况，即 $dp[i][k-j]$ ，所以次数贡献就是 $dp[i][j]\cdot dp[i][k-j]$ 。
• 知道每个格子的贡献次数，那么改变一个格子就可以 $O(1)$ 算出了。

代码

#pragma region
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <set>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define rep(i, a, n) for (int i = a; i <= n; ++i)
#define per(i, a, n) for (int i = n; i >= a; --i)
#pragma endregion
const int maxn = 5005;
const ll mod = 1e9 + 7;
ll a[maxn];
ll dp[maxn][maxn], cnt[maxn];
int main() {
    
    
    int n, k, q;
    scanf("%d%d%d", &n, &k, &q);
    rep(i, 1, n) scanf("%lld", &a[i]), dp[i][0] = 1;
    rep(j, 1, k) rep(i, 1, n)
        dp[i][j] = (dp[i - 1][j - 1] + dp[i + 1][j - 1]) % mod;
    rep(j, 0, k) rep(i, 1, n)
        cnt[i] = (cnt[i] + dp[i][j] * dp[i][k - j]) % mod;
    ll ans = 0;
    rep(i, 1, n) ans = (ans + a[i] * cnt[i]) % mod;
    while (q--) {
    
    
        ll pos, x;
        scanf("%lld%lld", &pos, &x);
        ans = (ans + ((x - a[pos] + mod) % mod) * cnt[pos]) % mod;
        printf("%lld\n", ans);
        a[pos] = x;
    }
}