素数筛与欧拉函数入门

前言

我们在做题时会碰到素数，对于单个数据或者小范围数据，直接对每一个判断是不是素数，但如果碰到大范围数据或者重复使用数据，这样做往往会超时，就需要快速挑选出素数并保存，这就是素数筛，利用它们可以求欧拉函数

素数筛

暴力筛，时间复杂度O($n\sqrt{n}$)

遍历判断保存完事

bool isprime(int n)       //暴力解法，时间复杂度为O(n*n)
{
    
    
    for(int i=2; i<=sqrt(n); i++)       
        if(n%i==0) return false;
    return true;
}
int Make_prime(int n)
{
    
    
    int cnt=0;
    for(int i=2; i<=n; i++)
        if(isprime(i))    
        	prime[cnt++]=i;
    return cnt;
}

重复用可能可以，但是大规模数据也是超时

埃拉托斯特尼筛法，O($nloglogn$)

要得到自然数n以内的全部素数，必须把不大于$\sqrt{n}$的所有素数的倍数剔除，剩下的就是素数。
给出要筛数值的范围n，找出以内的素数。先用2去筛，即把2留下，把2的倍数剔除掉；再用下一个质数，也就是3筛，把3留下，把3的倍数剔除掉；接下去用下一个质数5筛，把5留下，把5的倍数剔除掉；不断重复下去…。

ll Make_prime(ll n)
{
    
    
    ll cnt=0;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(ll i=2; i<=n; i++)
    {
    
    
        if(!vis[i])
        {
    
    
            prime[cnt++]=i;
            for(ll j=2*i; j<=n; j+=i)
                vis[j]=1;
        }
    }
    return cnt;
}

线性筛素数(欧拉筛)O(n)

在埃氏筛法的基础上，让每个合数只被它的最小质因子筛选一次，以达到不重复的目的

//筛选1~n中所有的素数,保存到prime数组中,cnt为素数的个数
//vis数组标记是否为素数,0表示是素数，1表示不是素数
int Make_Prime(int n)                          
{
    
    
    int cnt = 0;
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    for (int i = 2; i <= n; i ++)
    {
    
    
        if (!vis[i])
            prime[cnt++] = i;
        for (int j = 0; j < cnt && i * prime[j] <=n; j ++)
        {
    
    
            vis[i * prime[j]] = 1;
            if (i % prime[j] == 0)     //关键
                break;
        }
    }
    return cnt;
}

欧拉函数

在数论，对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目（因此φ(1)=1）。此函数以其首名研究者欧拉命名(Euler’s totient function)，它又称为Euler’s totient function、φ函数、欧拉商数等。 例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。

举例

$\phi (12)=12\times (1-1/2)\times (1-1/3)=4$
$\phi (10)=10\times (1-1/2)\times (1-1/5)=4$

性质

(1)若n为质数，$\phi (n)=n-1$

(2)若n是质数p的k次幂(即n=p^k，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1) ,因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质
比如$12=2\ast 2\ast 3$那么$\phi （12）=\phi （4\ast 3）=\phi （2^2\ast 3^1）=（2^2-2^1）\ast （3^1-3^0）=4$

(3)欧拉函数是积性函数——若m,n互质，$\phi (mn)=\phi (m)\phi (n)$
$\phi （30）=\phi （10\ast 3）=4\ast 2=8$

(4)若m%n==0 , $\phi (mn)=n\ast \phi (m)$

(5)特殊性质：当n为奇质数时， $\phi (2n)=\phi (n)$

(6)对任何两个互质的正整数a, m(m>=2)有a^φ(m)≡1(mod m),即欧拉定理
当m是质数p时，此式则为：a^(p-1)≡1（mod p）,即费马小定理

求单个数欧拉函数

int eular(int n)           //求单个数的欧拉函数
{
    
    
    int ans = n;
    for(int i = 2; i*i <= n; i++)
    {
    
    
        if(n % i == 0)
        {
    
    
            ans = ans/i*(i-1);       //ans=ans*(1-1/i)=ans*(i-1)/i
                                                //        =ans/i*(i-1) //先除防止溢出
            while(n % i == 0)      //消除i因子
                n /= i;
        }
    }
    if(n > 1)ans = ans/n*(n-1);    //最后可能还剩下一个质因数没有除
    return ans;
}

埃拉托斯特尼筛求欧拉函数

void euler(int n)
{
    
    
    for (int i=1;i<=n;i++) phi[i]=i;
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
    
    
        if (phi[i]==i)//这代表i是质数
        {
    
    
            for (int j=i;j<=n;j+=i)
            {
    
    
                phi[j]=phi[j]/i*(i-1);   //把i的倍数更新掉
            }
        }
    }
}

欧拉筛求欧拉函数

//phi[]欧拉函数  prime[]质数  vis[]标记
int euler(int n)
{
    
    
    int cnt=0;
    phi[1]=1;//1要特判
    for (int i=2; i<=n; i++)
    {
    
    
        if (vis[i]==0)//这代表i是质数
        {
    
    
            prime[cnt++]=i;  phi[i]=i-1;   //性质1  
        }
        for (int j=0; j<cnt&&prime[j]*i<=n; j++)
        {
    
    
            vis[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]==0)
            {
    
    
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];//性质4
                break;
            }
            else  phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];//性质3
        }
    }        return cnt;}