计算几何之基础（点积叉积，pick定理）

向量

向量旋转

• 已知一个向量 p=(x,y)，则其逆时针旋转A度后的向量
• p‘=(xcosA-ysinA,xsinA+ycosA)

叉积和点积

一.什么是叉积和点积

• 向量的叉积和点积，用来判断几何中的点线位置关系，且频繁出现，非常重要

• 叉积 = a x b = x1y2-x2y1

• 点积 = a x b = x1x2+y1y2

二.如何使用叉积和点积

使用叉积

1.判断两个向量的位置关系

• 令p1=(x1,y1)，p2=(x2,y2)
• 若叉积大于0，则p1逆时针旋转到p2
• 若叉积等于0，则O,p1,p2三点共线
• 若叉积小于0，则p1顺时针选择到p2

double cross(point p0,point p1,point p2){
    
    
	return (p1.x-p0.x)*(p2.y-p0.y)-(p1.y-p0.y)*(p2.x-p0.x);
}

2.计算三角形面积

• 叉积等于该三角形面积的两倍，等于p1,p2向量构成的平行四边形面积

double area(point p0,point p1,point p2){
    
    
	return fabs((p1.x-p0.x)*(p2.y-p0.y)-(p1.y-p0.y)*(p2.x-p0.x));
}

3.计算多面体的面积

• 原点向多面体每条边的两端点引两个向量，其向量叉积的和（不加绝对值）就是该多面体的面积。
• 给定n个点，且点的给出要是逆时针，即点的极角是从小到大的。

double cross(point p0,point p1,point p2){
    
    
    return (p1.x-p0.x)*(p2.y-p0.y)-(p2.x-p0.x)*(p1.y-p0.y);
}
double area(){
    
    
	point p0={
    
    0,0};
	double ans=0;
	for(int i=1;i<n;i++)ans+=cross(p0,p[i],p[i+1]);
	ans+=cross(p0,p[n],p[1]);
	return ans/2;
}

使用点积

1.判断两条之间的位置关系

• 令p1=(x1,y1)，p2=(x2,y2)
• 若点积大于0，则p2在垂直于p1的法线右侧
• 若点积等于0，则p2垂直于p1
• 若点积小于0，则p2在垂直于p1的法线左侧

pick定理

• pick定理：给定顶点均为整点的简单多边形，皮克定理说明了其面积A和内部格点数目 i，边上给点数目 b 的关系
• A = i + $\frac{b}{2}$ - 1