【数据结构】二叉树算法原理详解+代码+面试题

数据结构和算法-二叉树

一、二叉树基本概念

1、二叉树的概念

二叉树（Binary Tree）是包含n个节点的有限集合，该集合或者为空集（此时，二叉树称为空树），或者由一个根节点和两棵互不相交的、分别称为根节点的左子树和右子树的二叉树组成。
1）有且仅有一个特定的称为根Root的结点。
2）当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集，其中每个集合本身又是一个棵树，并称为根的子树。

还有一些其他的概念：
1、跟节点：树的顶端节点
2、分支节点：至少有一个子节点的节点
3、度：节点所拥有的子树个数
4、边：一个节点到另一个节点之间的连接
5、路径：连接节点和其后代的节点之间的节点和边的序列
6、节点的层数：从根结点到该节点的所有节点个数
7、 节点的深度：从根节点到该节点边的个数
8、节点的高度：节点的高度是该节点和某个叶子之间存在的最长路径上的边的个数。
9、树的高度：根节点的高度

2、二叉树性质：

（1）在二叉树中，第 i层上至多有$2^{i-1}$个节点（i≥1）
（2）深度为k的二叉树至多有$2^{k-1}$个节点（k≥1）
（3）对一棵二叉树，如果叶子节点的个数为n₀，度为2的节点个数为n₂，则n₀=n₂+1
（4）具有n个节点的完全二叉树的深度为⌊log₂n⌋+1

3、二叉树的两种存储结构

1. 顺序存储

对于完全二叉树而言，可以使用顺序存储结构。但是对于一般的二叉树来说，使用存储结构会有两个缺点，一，如果不是完全二叉树，则必须将其转化为完全二叉树，二是增加了很多虚节点，浪费资源空间。

2. 链式存储

这是最常用的一种二叉树存储结构。每个结点设置三个域，即值域，左指针域和右指针域，用data表示值域，lchild和rchild分别表示指向左右子树的指针域。如图所示。

4、二叉树的遍历

在二叉树的操作中，二叉树的遍历是基本的操作，对于二叉树的遍历操作，主要分为：
前序遍历、中序遍历、后序遍历、层次遍历
实际上二叉树的遍历是一个递归的过程
前序遍历的递推公式：
preOrder® = print r->preOrder(r->left)->preOrder(r->right)
中序遍历的递推公式：
inOrder® = inOrder(r->left)->print r->inOrder(r->right)
后序遍历的递推公式：
postOrder® = postOrder(r->left)->postOrder(r->right)->print r

1、前序遍历：根左右
思路：先访问根，然后遍历左子树，再遍历右子树
ABDHIEJCFKG

2、中序遍历：左根右
思路：先遍历左子树，再访问根，最后遍历右子树
HDIBEJAFKCG

3、后序遍历：左右根
思路：先遍历左子树，再遍历右子树，最后访问根
HIDJEBKFGCA

4、层次遍历
思路：从上到小，从左到右遍历
ABCDEFJHIJK

二、二叉树代码

二叉树实现代码

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三、二叉树面试题

1、求二叉树中的节点个数

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2、求二叉树的深度（高度）

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3、求二叉树中叶子节点的个数

// An highlighted block

4、已知一棵二叉树前序遍历和中序遍历分别为ABDEGCFH和DBGEACHF，则该二叉树的后序遍历为?

已知一棵二叉树bai前序遍和中序遍历分du别为ABDEGCFH和DBGEACHF，则该二叉树的zhi后序遍历dao是DGEBHFCA。

前序遍历的第一个节点为根节点，由前序遍历可知，A为根节点。中序遍历的根节点前面的节点均为左子树的节点，所以左子树上的节点为DBGE。去掉根节点和左子树节点，右子数节点为CHF。前序遍历的第二个节点为B，由2知B为左子树节点，所以B为左子树的根节点。

由前序遍历，DEG在B节点下面，由中序遍历，D是B的左节点，GE是B的右节点。由前序遍历，E是G的根节点，由中序遍历，G是E的左子节点。由前序遍历，C是二叉树的右根节点，由中序遍历，C不含左子节点，HF为C的右子节点。由前序遍历，F为H的根节点，由中序遍历，H为F的左子节点。

在二叉树中，求后序遍历，先左后右再根，即首先遍历左子树，然后遍历右子树，最后访问根结点。则该二叉树的后序遍历是DGEBHFCA。

5、已知一棵二叉树，前序遍历的节点顺序是：ABDEGHCFI，中序遍历的节点顺序是：DBGEHAFCI，其后序遍历的顺序是？

已知一棵二叉树，前序遍历的节点顺序是：ABDEGHCFI，中序遍历的节点顺序是：DBGEHAFCI，其后序遍历的顺序是：DGHEBFICA