算法的时间复杂度与空间复杂度（总结合集+例子）

定义

时间复杂度

  在进行算法分析时，语句总的执行次数$T(n)$是关于问题规模 n 的函数，进而分析$T(n)$随 n 的变化情况并确定$T(n)$的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间度量，记作$T(n)=O(f(n))$。其中$f(n)$是问题规模 n 的某个函数。

空间复杂度

  通过计算算法所需的储存空间实现，算法空间复杂度的计算公式记作：
$$S(n)=O((f(n)))$$
其中，n 为问题的规模，$f(n)$为语句关于 n 所占存储空间的函数。

时间复杂度的计算方法

即推导大O阶方法
1.用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2.在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3.如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。
得到的结果就是大O阶

  下面给出实例具体看如何求解时间复杂度。

1.常数阶

  例如下面这段代码：

int a = 1, b = 2;    /*执行1次*/
a = a + b;    /*执行1次*/
b = b + a;    /*执行1次*/

每段代码均执行一次，不断执行多少段这样的代码，其次数都是常数，是有限的，所以此时其具有O(1)的时间复杂度，又称为常数阶。

2.线性阶

  循环结构对时间复杂度具有较大的影响

  下面这段代码，时间复杂度为O(n)，因为循环体中的代码要执行 n 次。

int i, sum = 0;
for(i = 0; i < n; i++)
{
    
    
	sum = i + j;
}

3.对数阶

int count = 1;
while (count < n)
{
    
    
	count = count * 2;
}

  上面这段代码，设循环次数为$x$，则得到下面等式：
$$\begin{gathered} 2^x=n \\ x=lo{g}_{2}n \end{gathered}$$
所以这个循环的时间复杂度为O($logn$)

4.平方阶

  下面给出一个循环嵌套：

int i,j;
for(i = 0; i < n; i++)
{
    
    
	for(j = 0; j < n; j++)
	{
    
    
		printf("times");
	}
}

循环了 $n\cdot n$次，所以这段代码的时间复杂度是O($n^2$)。

5.一个例子

int i,j;
for(i = 0, i < n; i++)
{
    
    
	for(j = i; j < n; j++)
	{
    
    
		printf("times");
	}
}

i	内循环执行次数
0	n
1	n - 1
$$\begin{gathered} . \\ . \\ . \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} . \\ . \\ . \end{gathered}$$
n - 1	1

所以总的执行次数为：
$$n+(n-1)+(n-2)+...+1=\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2}$$
代入开头给出的求解方法

第一步：没有加法常数不予考虑；

第二步：只保留最高阶项，因此保留$\frac{n^2}{2}$；

第三步：去除这个项相乘的常数，也就是去除$\frac{1}{2}$

最终得到这段代码的时间复杂度为O($n^2$)。

常见的时间复杂度

执行次数函数	阶	非正式术语
$12$	$O(1)$	常数阶
$2n+3$	$O(n)$	线性阶
$3n^2+2n+1$	$O(n^2)$	平方阶
$5lo{g}_{2}n+2$	$O(logn)$	对数阶
$2n+3nlo{g}_{2}n+19$	$O(nlogn)$	$nlogn$阶
$6n^3+2n^2+3n+4$	$O(n^3)$	立方阶
$2^n$	$O(2^n)$	指数阶

其时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是：

$O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n^2)<O(n^3)<O(2^n)<O(n!)<O(n^n)$

  用 MATLAB 画了上表中的几个图形，进行比较，也可以得到相同的结论。

算法空间复杂度

  算法的空间复杂度通过计算算法所需的储存空间实现，算法空间复杂度的计算公式记作：
$$S(n)=O((f(n)))$$
其中，n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。

其实可以这样理解，比如要去在某个范围寻找 n 这个数字，一般的算法是要遍历这个范围，其时间复杂度比较大；但是可以牺牲空间复杂度去换取时间的减少，就是可以事先存储这个范围的数组，对应序列下标，每次去判断当前数是不是与n相等，每次的时间复杂度为O(1)，综合起来的次数是有限的，还是O(1)，但是空间复杂度却增大了。

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