Floyd算法之个人见解
因为最近有一个算法作业要交- -，我看了看题目，大致就是带权值求最短路径。所以我想到了弗洛伊德算法，我就去看了看百度，然后做个总结吧。
假如我们去旅游，肯定希望少走冤枉路，那么我们就要知道任何两个地方最短的距离。
这四个地方，有八条公路可以到达，请注意这些公路是单向的。我们现在需要求任意两个城市之间的最短路程，也就是求任意两个点之间的最短路径。这个问题这也被称为“多源最短路径”问题。
现在我们需要一个二维数组来储存它，可以创建一个4*4矩阵，比如1号城市到2号城市的路程为2，则设e[1][2]的值为2。2号城市无法到达4号城市，则设置e[2][4]的值为∞。另外此处约定一个城市自己是到自己的也是0，例如e[1][1]为0，具体如下。
我们知道，如果要缩短两点的距离就只有引入中转点（顶点k）使其路程变短（即a->k->b），有时候可能要两个中转点或者更多的点才会让其路程变得更短，也就是引入k1、k2、k3等等（即a->k1->k2…->k->i…->b），例如上图，原来4->3路程是12，如果经过1之后变成4->1->3那么路程就变成了11了（即e[4][1]+e[1][3]=5+6=11）。所以现在将问题转化成一般情况。
- 不经过别的中转点
- 经过中转点1
只经过中转点1应该怎么求呢？只需判断e[i][1]+e[1][j]是否比e[i][j]要小即可，e[i][j]表示的是从i号顶点到j号顶点之间的路程。e[i][1]+e[1][j]表示的是从i号顶点先到1号顶点，再从1号顶点到j号顶点的路程之和。代码实现如下。
for (i = 1; i <= n; i++)
{
for (j = 1; j <= n; j++)
{
//循环是遍历整个矩阵，判断每个点经过1是否会变小
if (e[i][j] > e[i][1] + e[1][j])
e[i][j] = e[i][1] + e[1][j];
}
}
经过1之后，路程表更新为：
通过上图我们可以发现，标白的三个地方的路程经过1到其他点的路程变短了。
- 经过1、2中转点
接下来只循序经过1、2会怎么样呢？我们需要在只允许经过1号顶点时任意两点的最短路程的结果下，再判断如果经过2号顶点是否可以使得i号顶点到j号顶点之间的路程变得更短。即判断e[i][2]+e[2][j]是否比e[i][j]要小，代码实现为如下。
//经过1号顶点
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<=n;j++)
{
if (e[i][j] > e[i][1]+e[1][j]) e[i][j]=e[i][1]+e[1][j];
}
}
//经过2号顶点
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<=n;j++)
{
if (e[i][j] > e[i][2]+e[2][j]) e[i][j]=e[i][2]+e[2][j];
}
}
在只允许经过1和2号顶点的情况下，任意两点之间的最短路程更新为：
我们可以发现之前的4->3经过1（4->1->3）变成了11，现在又经过了2（4->1->2->3）变成了10，
- 经过1、2、3中转点
同理，继续在只允许经过1、2和3号顶点进行中转的情况下，求任意两点之间的最短路程。任意两点之间的最短路程更新为：
- 经过所有中转点
最后允许通过所有顶点作为中转，任意两点之间最终的最短路程为：
整个过程其实可以简化为几行代码：
for(k=0; k<n ; k++){
//简单的说就是更新二维矩阵，将任何一个点经过任何一个中间点之后的路程更新为最短的距离
//一句话概括就是：从i号顶点到j号顶点只经过前k号点的最短路程。
for(i =0; i<n; i++){
for(j=0; j<n; j++){
if(e[i][j] > (e[i][k] + e[k][j])){
e[i][j] = e[i][k] + e[k][j];
}
}
}
}
上面就是经过所有的中转点，求的到任意点最短的距离。简单的说就是从i号顶点到j号顶点只经过前k号点的最短路程。