POJ2411 Mondriaan‘s Dream 状压DP

题意：

一个$n\ast m$的棋盘放满$1\ast 2$的小矩形，一共有多少种方案。

题解：

状压DP入门。在每一行的矩形只有3种情况：

1. 横着的$1\ast 2$矩形

2. 竖着的$1\ast 2$矩形，本行是上方

3. 竖着的$1\ast 2$矩形，本行是下方

简单分析可得，用一个$m$位的二进制数表示本行矩形的放置。其中这位为$0$代表着与下一行无关（1，3）,$1$代表着与下一行有关（2）。$F[i][j]$表示第$i$行放置情形为$j$时的方案数。

对于$F[i-1][k]$转移到$F[i][j]$的条件为：

• $k\&j=0$，代表$k$中1的下面均为$0$。
• $k|j$二进制表示中每一段连续的$0$都是偶数个。$k|j$为1代表着竖着的矩形，既包括2，还有3。偶数个是保证1。

可以预处理出来m位二进制数中哪些连续的$0$为偶数个。

易错：

不能一次预处理出来所有的，因为连续的$0$的个数与位数有关！比如当$m=7$时，$0$是不合法的；但是当$m=8$时，0是合法的。所以读取$m$后根据$m$大小预处理。

预处理也很巧。用$odd$表示是否存在奇数个连续的$0$，$cnt$表示连续的$0$是奇还是偶。如果这一位是$1$，$odd|=cnt,cnt=0$，更新存不存在奇数个连续的$0$，将$cnt$初始化；如果不是1，那么$cn{t}^{\wedge }=1$，表示当前这段连续的$0$是奇数还是偶数。二进制的每一位都遍历过后，如果最后一段是$0$，那么此时$cnt$还没有更新$odd$，因此 $odd|cnt==1$时，说明有奇数个连续的$0$，否则是合法的。

输出$F[n][0]$，不是$F[n][m]$。

AC代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>
#include <iomanip>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define repp(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);i++)
#define lep(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--) 
#define lepp(i,a,b) for(int i=(a);i>(b);i--)
#define pii pair<int,int>
#define pll pair<long long,long long>
#define mp make_pair
#define pb push_back 
#define fir first
#define sec second
#define All(x) x.begin(),x.end() 
#define ms(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) 
#define INF 0x3f3f3f3f
#define INFF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define multi int T;scanf("%d",&T);while(T--) 
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
const int N=(1<<11)+5;
const int mod=10007;
const db eps=1e-6;                                                                            
const db pi=acos(-1.0);
int n,m,zero2[N];
ll f[15][N];
int main(){
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("D:\\work\\data.in","r",stdin);
    #endif
    // repp(i,0,1<<11){
    //     int cnt=0,odd=0;
    //     repp(j,0,11){
    //         if(i>>j&1) odd|=cnt,cnt=0;
    //         else cnt^=1;
    //     }
    //     zero2[i]=odd|cnt?0:1;
    // }
    f[0][0]=1;
    while(cin>>n>>m&&n){
        repp(i,0,1<<m){
            int cnt=0,odd=0;
            repp(j,0,m){
                if(i>>j&1) odd|=cnt,cnt=0;
                else cnt^=1;
            }
            zero2[i]=odd|cnt?0:1;
        }
        rep(i,1,n)
            repp(j,0,1<<m){
                f[i][j]=0;
                repp(k,0,1<<m){
                    if((j&k)==0&&zero2[j|k]) f[i][j]+=f[i-1][k];
                }
            }
        cout<<f[n][0]<<endl;
    }    
}