CodeForces 1467D :Sum of Paths DP + 贡献

传送门

题目描述

一个长度为$n$的线段，每个点都有一个价值$a_i$，每经过这个点都会加上这个点的值，你可以从任意点开始，每次可以向左移动一格或者向右移动一格，问你移动$m$次，所有可能的路径的的值的和是多少
$q$次修改，每次都会修改一个点的$a_i$

分析

因为涉及到所有的方案，而这个数据范围肯定不会把每条路线弄出来，所以我们可以想办法把把这个路线给抽象出来
我们可以计算出每个点的贡献，也就是每个点经过的次数

 f[j][i] = (f[j - 1][i - 1] + f[j + 1][i - 1]) % mod;

然后，我们去枚举$i,j$，假设我们第$j$步走到了$i$，那么这条路径一共可能的情况一共有$f[i][j]\ast f[i][m-j]$，也就是说点$i$一共经过了这么多次，所以这就是他的贡献值
最后求一下每个点的和，$q$次修改即可

代码

#pragma GCC optimize(3)
#include <bits/stdc++.h>
#define debug(x) cout<<#x<<":"<<x<<endl;
#define dl(x) printf("%lld\n",x);
#define di(x) printf("%d\n",x);
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define fi first
#define se second
#define SZ(x) ((int)(x).size())
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> PII;
typedef vector<int> VI;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 5010;
const ll mod= 1000000007;
const double eps = 1e-9;
const double PI = acos(-1);
template<typename T>inline void read(T &a){
    
    char c=getchar();T x=0,f=1;while(!isdigit(c)){
    
    if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
while(isdigit(c)){
    
    x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}a=f*x;}
int gcd(int a,int b){
    
    return (b>0)?gcd(b,a%b):a;}
ll f[N][N],cnt[N];
ll a[N];
ll res;
int n,m,q;

int main(){
    
    
    read(n),read(m),read(q);
    for(int i = 1;i <= n;i++) {
    
    
        read(a[i]);
        f[i][0] = 1;
    }
    for(int i = 1;i <= m;i++)
        for(int j = 1;j <= n;j++)
            f[j][i] = (f[j - 1][i - 1] + f[j + 1][i - 1]) % mod;
    for(int i = 1;i <= n;i++)
        for(int j = 0;j <= m;j++)
            cnt[i] = (cnt[i] + (f[i][j] * f[i][m - j]) % mod) % mod;
    for(int i = 1;i <= n;i++) res = (res + (a[i] * cnt[i]) % mod) % mod;
    while(q--){
    
    
        int pos,x;
        read(pos),read(x);
        res = (res - a[pos] * cnt[pos] % mod + mod) % mod;
        a[pos] = x;
        res = (res + a[pos] * cnt[pos] % mod) % mod;
        dl(res);
    }
    return 0;
}

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