数据链路层CRC(循环冗余码)差错校验码详解

CRC差错校验码是数据链路层用来进行差错校验的一个码。

CRC编码过程

假设要编码的数据D，有d个比特，发送节点要将它发送给接收节点。发送方和接收方要先协商一个r + 1比特模式，成为生成多项式。我们将其表示为G。我们将要求G的最高有效位（最左边）的比特是1。

我们要有一个数据D，比如 1001
这个数据有d个比特，也就是4个比特
需要附加 r 个比特作为校验码 R
编码过后会变成数据会变成D + R
数据有d + r个比特
使得得到的数据D+R进行模2运算恰好能被G整除

在这里插入图片描述

CRC差错检测过程

接收方用G去除接收到的D+R数据，如果余数为非0，则有差错，如果余数为0，则无差错

CRC计算

所有CRC计算采用模2算术来做，在加法中不进位，在减法中不借位。这意味着加法和减法是相同的，而且这两种操作等价于异或（XOR）操作。

1011 XOR 0101 = 1110

异或操作：不同的为1，相同为0。也就是0 XOR 0 = 0,1 XOR 1 = 0,0 XOR 1 = 1。

乘法和除法是相同的。

给定D 和 R, D * 2^r XOR R就等于 D + R数据。

如何计算R

我们要求出R使得对于n有：
D * 2^r XOR R = nG

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也就是说，我们要选择 R 使得G能除 D * 2^r XOR R 而没有余数。如果对上面的等式两边都 XOR R.

D * 2^r = nG XOR R

根据上面的等式可以得出，如果我们用G 除 D * 2^r，余数刚好是R

R = remainder (D * 2^r / G)

也就是使用D * 2^r去除以 G。余数就是R。

如何计算G

G 作为多项式，有两种写法，一种是x² + x + 1的写法，一种是二进制写法 111。

我们需要用 D * 2^r 除以 G 。所以我们需要求出G的二进制写法，才能做除法运算。

这个转换的方法：

首先把末尾的1看成x⁰，也就是x的0次幂
这样提取出x的所有幂
对应幂的位置填1，如果没有对应幂的位置则填0

转换例子1

G = x⁴ + x + 1

提取出来的幂分别是 4,1,0。
没有的幂是3,2。
在对应的位置填上1或0。
4 3(无) 2(无) 1 0
1 0 0 1 1
这个G的二进制就是 10011。

其实很简单，0次幂对应个位，1次幂对应十位，一直往上加就行了，有1次幂十位就是1，没有就是0.

转换例子2

G = x⁶ + x⁴ + x² + 1

6 5(无) 4 3(无) 2 1(无) 0
1 0 1 0 1 0 1

对应的二进制就是 1010101

计算CRC编码

给定 D = 101110, G = 1001, d = 6, r = 3。计算D的CRC编码后的数据

首先求R。

用D/G可以得出结果为101011，余数为011，余数就是R。

然后把R放到D后面。

编码后就是 101110 011