含义
大顶堆：完全二叉树，每个根节点值都大于等于其左右孩子的节点值，这样根节点就是最大值
小顶堆：每个根节点值都小于等于左右孩子节点值，根节点为最小值
前置知识
我们对堆中的结点按层进行编号从左到右，对应的数组就是一个大顶堆数组。
由于是完全二叉树，所以有下面结论
- 父结点索引：(i-1)/2
- 左孩子索引：2*i+1
- 右孩子索引：2*i+2
思路
堆排序的过程可以具体分为三步，
- 创建堆：创建完全二叉树，首先将待排序的数组构造成一个大根堆，此时整个数组的最大值就是堆结构的顶端。遍历数组，每次将节点从最后一位放入，最后一位是完全二叉树的最后一位（也就是从底向上，从右向左）。我们对比当前节点和父节点。如果比父节点大，就交换。
- 调整堆：这时我们找到最大值了，也就是堆顶元素。放到数组最后。也就是排序好的，然后继续遍历前面没有排序好的。
- 重复：已排序的就不需要再参与排序了，将最堆顶元素和最后一个元素交换。将剩余n-1个元素继续上面两步，找到最大值，并放到排序好的后面，反复排序。
复杂度
堆排序是利用堆这种数据结构而设计的一种排序算法，堆排序是一种选择排序，它的最坏，最好，平均时间复杂度均为O(nlogn)，它也是不稳定排序。
空间复杂度：在原数组进行操作，所以辅助空间为O(1)，不需要额外空间
代码
//1. 新建大顶堆函数，该函数执行完之后，会让数组中的元素按照大顶堆的顺序排序
void heapify(vector<int> &nums) {
//循环遍历，每次插入一个节点
for(int i = 1; i < nums.size(); i++) {
//这里有个概念，因为我们每次插入的数据要构成完全二叉树，那么这个数组中，插入之后，他的父节点索引值为(i-1) / 2
int parent = (i-1) / 2; // 找到当前节点的父节点的索引肯定是(i-1)/2
int cur = i; // 当前遍历节点为子节点
//如果当前节点值大于父节点，则交换父子节点值，然后将当前节点上移动继续和父节点对比
while(nums[parent] < nums[cur]) {
swap(nums[parent], nums[cur]);//交换值
//自底向上移动节点
cur = parent;//上移当前节点游标
parent = (parent-1)/2;//上移父节点索引
}
}
}
//2. 调整堆，使用递归，因为当前根节点小，目的是将该根节点放到他指定的位置。从根节点向下遍历，如果根节点小于他最大的子节点，则交换，并继续递归该子树
//传入当前节点和最后一个节点的索引
void rebuildHeap(vector<int> & nums, int parent, int last) {
//因为是完全二叉树，对应数组中左孩子索引：2*i+1 右孩子索引：2*i+2
//拿到当前节点的左右子节点中较大的，放到根节点，这时根节点就是最大值
int left = 2*parent+1; // 左子节点
int right = 2*parent+2; // 右子节点
//看是否有左子节点
if(last < left) return; //终止条件：如果当前节点没有左子节点，也就是当前左子节点索引大于最后一个index，也就是，也就是当前节点是最底层节点，则终止
//看是否有右子节点，如果不存在右节点则最大索引就是左子节点了
int maxIndex = left;
//如果存在右节点，且右子节点值大于左节点则右节点值大
if(right <= last && nums[right] > nums[left]) maxIndex = right;
//如果当前根节点值小于他的较大子节点值，则交换，因为要把最大的数放到最上面根节点
if (nums[parent] < nums[maxIndex]) {
// 和最大子节点比较
swap(nums[parent], nums[maxIndex]); // 互换到最大子节点
//进行递归，继续向下调整子树，一直递归到他是子节点，或者他下面的值都比他小则结束
rebuildHeap(nums, maxIndex, last);
}
}
void HeapSort(vector<int>& nums) {
//新建一个大顶堆
heapify(nums);
//3. 从后往前依次排序 ，这时，堆顶的值最大，也就是数组第一个元素最大，我们把最大值放到最后作为排好序的值，然后我们调整未排序的大顶堆中的值
for (int i = nums.size() - 1; i >= 1; i--) {
swap(nums[i], nums[0]); // 最大值和最后一个数交换
rebuildHeap(nums, 0,i-1); // 去掉已排序的数，对未排序的数重建大顶堆
}
}
int main()
{
//随机产生N个数
int N = 200000;
srand(time(NULL)); //生成随机数种子
//放到vector中
vector<int> nums(N);
for (int i = 0; i < N; ++i) {
nums[i] = 1 + (rand() % N);
//cout << nums[i] << ",";
}
cout << endl;
//开始计时
double start, finish; /* 定义开始的时间和结束的时间 */
start = (double)clock();
//20000
//BubbleSort(nums); //2288ms
//SelectionSort(nums); //915ms
//InsertionSort(nums); //528ms
//200000
//mergeSort(nums); //93ms
//quickSort(nums, 0, nums.size()-1);//41ms
HeapSort(nums);//78ms
finish = (double)clock();
//打印
// for (auto item : nums)
// {
// cout << item << ",";
// }
cout << (finish) - start << " ms" << endl;
}