三种线性排序：计数排序、基数排序、桶排序

前言

之前学到的归并、快排、堆排序等其实都可以归为比较排序，因为一定要通过数字之间的比较才知道数字的次序。对于堆排序和归并排序，时间复杂度上界都是 O(nlog(n))，对于快速排序，平均到了O（nlog(n)）。

决策树

比较排序都可以抽象为像上图一样的完全二叉树。可以表示在给定输入规模的情况下，一个排序算法对所有元素的比较操作。当到达叶节点时，就确定了一个正确的排序。

根据上面的例子可以看出，当比较次数最多的时候就是到达叶子节点的时候。在最坏情况下，任何比较排序都要经历最少nlog(n)次比较。
可以看算法导论的证明：

线性时间排序

回到正题，今天看三种线性排序算法，再与排序算法对比。

计数排序

计数排序假设输入元素的每一个都是在 0 到 k 区间内的一个整数，其中k为某个整数。当k为O（n）时，排序运行时间为O（n）。

思想： 对于每一个输入的数，确认有多少数比它要小，知道这个信息后，自然而然就能将它放在合适的位置上了。

在计数排序算法中，我们会接触到 3个数组，一个数组 A[1…n]，A.length=n ，另外还需要两个数组：B[1…n]存放排序的输出，C[0…k]提供临时储存空间。

//这里我理解的k是数组最大值
COUNTING-SORT(A,B,k)
	//初始化临时数组C
	let C[0..k] be a new array
	for i=0 to k
		C[i] = 0
	//对A中每个元素计数
	for j=1 to A.length
		C[A[j]]++
	//关键！计算出每个数最后的下标
	for i=1 to k
		C[i] = C[i-1]+C[i]
	//将元素记录到B中
	for i=A.length downto 1
		B[C[A[j]]] = A[j]
		C[A[j]]--

大概过程

时间代价：O（k+n），在实际情况下，当 k=O(n) 时我们通常考虑这个方法。

基数排序

基数排序理解起来怪怪的，其实是对一个n位数字或字符串的每一位都进行一次排序，又或者一个日期，先对日排序、在对月排序、最后对年排序。

例子

所以说，基数排序可以用来对有多个关键字域的记录进行排序。

RADIX-SORT(A,d)
	for i=1 to d
		use a stable sort to sort A on digit i	//用别的排序排序这个位

如果稳定排序耗时为 O(n+k)，则基数排序耗时 O( d(n+k) )。

桶排序

桶排序（bucket sort）假设输入数据均匀分布，平均情况下它的时间代价为O(n)。与计数排序类似，对输入数据做了某种假设，因此桶排序速度也很快。

假设
计数排序：输入都属于一个小区间内的整数。
桶排序：输入是由一个随机过程产生，该过程将元素均匀、独立地分布在 [0,1)区间上。

思想
桶排序将[0,1) 区间划分为 n 个大小相同的子区间，例如 [0,1）、[1,2）…[8,9）等，这些子区间分为各个桶。因为输入数据均匀，所以不会出现很多数据落在同一个桶上的情况。

例子

BUCKET-SORT（A）
	n = A.length
	let B[0...n-1] be a new array
	for i=0 to n-1
		make B[i] an empty list

	for i=1 to n
		insert A[i] into list B[func(nA[i])]//找到合适的桶插进去，func表示计算方法
	for i=0 to n-1
		sort list B[i] with insertion sort
	//联和这些桶
	concatenate the lists B[0]、B[1]、...、B[n-1] together in order	

虽然用上了插入排序，但是期望运行时间依然是 O(n)。感兴趣的话算法导论有解释。
（不太懂为啥用了插入排序那桶排序怎么就不是比较排序了）

参考书籍
《算法导论》第三版