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梯度的引入与思考
【问题1】为什么要引入梯度下降，梯度下降是用来解决什么问题的？
【思考】回忆一下在笔记02中我们是如何找到的w？对，是穷举！
我们是在[0.0,4.0]区间，每隔0.1取一个值，穷举了所有w的可能取值，根据w-loss图像得出结论：loss最小时，w=2。
在实际情况中，一方面我们很可能一开始就无法确定w的大致范围，进而导致没办法穷举w的值。另一方面，权重W也可能是多维的，一一穷举会很麻烦。所以我们就希望，可不可以让程序自己来寻找最合适的w值。
此时，就把求w值问题变成一个如何寻找w最小值问题。
【问题2】如何寻找最小w？
【思考】可通过下列步骤寻找w最小值：
①初始化w：先假定w取一个值，作为寻找的起始点。
②判断方向：根据梯度值，判断w应该往左走还是往右走可以找到w最小值（沿着梯度反方向，即为寻找最小值的方向）。
移动：移动的过程就是更新权重w的过程，每次朝着梯度反方向③小幅度移动。
④更新权重w：移动完成后，将当前w值作为最新权重值，更新公式如下图所示：
不断重复上述操作，当w快找到最小值点时，此时w-loss图像的梯度接近0（可以理解为曲线在接近w最小值点斜率接近0），此时cost对w的导数接近为0，在公式中w=w-α×0。此时得到的w即为所求的w。
【概念】梯度方向定义：函数上升的方向即为梯度的方向。
所以，梯度的反方向即为函数下降的方向（即：寻找LOSS最小值点的方向）
梯度下降寻找权重w最小值
1.导入数据集
PS：与之前代码相同
import matplotlib.pyplot as plt
x_data = [1.0, 2.0, 3.0]
y_data = [2.0, 4.0, 6.0]
2.定义模型
PS：与之前代码相同
def forward(x):
return x * w
3.定义损失函数
PS：与之前代码相同
# 定义损失函数MSE
# loss = (y_pred - y)²
# loss_sum = += loss (对每个x=1.0,2.0,3.0，求loss后求和)
# loss_sum / len(xs) 在对cost求均值
def cost(xs, ys):
loss_sum = 0
for x, y in zip(xs, ys):
y_pred = forward(x) # 计算预测值y
loss_sum += (y_pred - y) ** 2
return loss_sum / len(xs)
4.定义梯度算法
y_pred预测值公式如下：
cost(w)损失函数公式如下：
gradient梯度公式如下：
gradient梯度关于权重w、初始值Xn和Yn的公式如下（由上述公式根据复合函数求导法则推导而来）：
# 定义梯度计算方法 求cost(w)对w的偏导数 梯度也需要求和后求均值
def gradient(xs, ys):
grad = 0
for x, y in zip(xs, ys):
grad += 2 * x * (x * w - y)
return grad / len(xs)
5.训练模型
for epoch in range(100): # 默认步长为1,epoch从0-99训练100次
cost_val = cost(x_data, y_data) # 计算均方损失MSE
grad_val = gradient(x_data, y_data) # 计算梯度
w -= 0.01 * grad_val # 学习率lr等于0.01 # 使用梯度下降的方法更新权重
print(' Epoch:', epoch, ' w=', w, ' loss=', cost_val) # 每训练一次，打印一下权重w和损失loss的值
6.全部代码
import matplotlib.pyplot as plt
x_data = [1.0, 2.0, 3.0]
y_data = [2.0, 4.0, 6.0]
# 定义的初始权重值
w = 1.0
# 定义模型y=wx
def forward(x):
return x * w
# 定义损失函数MSE
# loss = (y_pred - y)²
# loss_sum = += loss (对每个x=1.0,2.0,3.0，求loss后求和)
# loss_sum / len(xs) 在对cost求均值
def cost(xs, ys):
loss_sum = 0
for x, y in zip(xs, ys):
y_pred = forward(x) # 计算预测值y
loss_sum += (y_pred - y) ** 2
return loss_sum / len(xs)
# 定义梯度计算方法 求cost(w)对w的偏导数 梯度也需要求和后求均值
def gradient(xs, ys):
grad = 0
for x, y in zip(xs, ys):
grad += 2 * x * (x * w - y)
return grad / len(xs)
# 最终绘制图像的x
epoch_list = []
cost_list = []
print('Predict (before training)', 4, forward(4))
for epoch in range(100): # 默认步长为1,epoch从0-99训练100次
cost_val = cost(x_data, y_data) # 计算均方损失MSE
grad_val = gradient(x_data, y_data) # 计算梯度
w -= 0.01 * grad_val # 学习率lr等于0.01 # 使用梯度下降的方法更新权重
print(' Epoch:', epoch, ' w=', w, ' loss=', cost_val)
epoch_list.append(epoch) # 收集当前是第几次训练
cost_list.append(cost_val) # 收集对应训练的损失值
print('Predict (after training)', 4, forward(4))
# 绘图
plt.plot(epoch_list, cost_list)
plt.ylabel('cost')
plt.xlabel('epoch')
plt.show()
7.展示pytorch绘制的图像（epoch-loss）
从图中可以发现，当训练epoch次数增加的时候，损失值会越来越小。
此时打印4 和forward(4)，就会得到forward(4)的值接近于8。所以权重w=y/x=2
