Codeforces Round #686 (Div. 3) E. Number of Simple Paths 基环树 + 容斥

传送门

题意：

给你一颗基环树，求长度$>=1$的路径个数。

思路：

先考虑一棵树，他的答案显然是$\frac{n\ast (n-1)}{2}$。因为是个基环树，所以先考虑如果所有点都在环上，这个时候每两个点都有两条路径可互达，那么答案是$\frac{n\ast (n-1)}{2}\ast 2=n\ast (n-1)$。而现实是我们不可能所有点都在环上，有些点在一棵树中，这些点对之间只有一条路径，而剩下两种情况分别是在环上和在两棵树之间，这些显然还是有两条路径可达。那么我们考虑容斥，用总情况减去在一棵树中的路径，即$n\ast (n-1)-\sum se[i]\ast (se[i]-1)/2$，$se[i]$为每棵树的大小。用拓扑找出环，让后跑一遍就好啦。

//#pragma GCC optimize(2)
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#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
#include<map>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<set>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<sstream>
#include<ctime>
#include<cstdlib>
#define X first
#define Y second
#define L (u<<1)
#define R (u<<1|1)
#define pb push_back
#define mk make_pair
#define Mid (tr[u].l+tr[u].r>>1)
#define Len(u) (tr[u].r-tr[u].l+1)
#define random(a,b) ((a)+rand()%((b)-(a)+1))
#define db puts("---")
using namespace std;

//void rd_cre() { freopen("d://dp//data.txt","w",stdout); srand(time(NULL)); }
//void rd_ac() { freopen("d://dp//data.txt","r",stdin); freopen("d://dp//AC.txt","w",stdout); }
//void rd_wa() { freopen("d://dp//data.txt","r",stdin); freopen("d://dp//WA.txt","w",stdout); }

typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int,int> PII;

const int N=1000010,mod=1e9+7,INF=0x3f3f3f3f;
const double eps=1e-6;

int n;
int d[N],se[N],st[N];
vector<int>v[N];

int dfs(int u,int f)
{
    
    
    int ans=1;
    for(auto x:v[u]) if(x!=f) {
    
     ans+=dfs(x,u); }
    return ans;
}

int main()
{
    
    
//	ios::sync_with_stdio(false);
//	cin.tie(0);

    int _; scanf("%d",&_);
    while(_--)
    {
    
    
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
    
    
            int a,b; scanf("%d%d",&a,&b);
            v[a].pb(b); v[b].pb(a);
            d[a]++; d[b]++;
        }
        queue<int>q;
        for(int i=1;i<=n;i++) if(d[i]==1) q.push(i);
        while(q.size())
        {
    
    
            int u=q.front(); q.pop();
            for(auto x:v[u]) if(--d[x]==1) q.push(x);
        }
        for(int i=1;i<=n;i++) if(d[i]>1) st[i]=1;
        LL ans=1ll*n*(n-1);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            if(st[i])
            {
    
    
                LL sum=1;
                for(auto x:v[i])
                {
    
    
                    if(st[x]) continue;
                    sum+=dfs(x,i);
                }
                ans-=sum*(sum-1)/2;
            }
        printf("%lld\n",ans);
        for(int i=1;i<=n;i++) d[i]=0,st[i]=0,se[i]=0,v[i].clear();
    }



	return 0;
}
/*

*/