后缀自动机（SAM）构造实现过程演示+习题集锦

蒟蒻写这篇$blog$主要是存一下，后缀自动机的详细搭建过程，方便以后复习
具体的某些证明，为什么这么做，正确性劈里啪啦一大堆就不赘述了讲解指路☞

后缀自动机

后缀自动机上每一条到$i$的路径对应一个子串，整个自动机包含了字符串的所有子串

很多时候可以和后缀数组等价使用

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$endpos$：一个子串$i$在整个字符串中出现的位置 最后一个字符的下标 构成的集合
举个栗子 $abcbcdeabc$，(从$0$开始标号)
子串$abc$对应的$endpos$为 { 2 , 9 } \{2,9\} { 2,9}，子串$bc$的$endpos$为 { 2 , 4 , 9 } \{2,4,9\} { 2,4,9}

后缀自动机的编号对应的就是$endpos$完全相同的所有子串
依旧是上面的粒子$abcbcdeabc$
子串$bc$的$endpos$为 { 2 , 4 , 9 } \{2,4,9\} { 2,4,9}，子串$c$的$endpos$也为 { 2 , 4 , 9 } \{2,4,9\} { 2,4,9}
那么后缀自动机上对应的$id$编号既表示$bc$子串，也表示$c$子串

算法实现过程

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• $e.g.1$，构建$abcd$的后缀自动机
  Ⅰ最初始状态，仅有一个空根，$last=1$，$last$表示后缀自动机的最后一个节点
  
  Ⅱ 将${}^{\prime }{a}^{\prime }$扔进去，新建一个节点$cnt=2$，$len=len[last]+1=1$
  从$last$开始跳，发现$1$没有${}^{\prime }{a}^{\prime }$边
  则建立一条${}^{\prime }{a}^{\prime }$边，并指向新点$2$
  此时跳到了初始源点，$2$的后缀链接只能指向$1$，$last$变为$2$
  
  Ⅲ 将${}^{\prime }{b}^{\prime }$扔进去，新建一个节点$cnt=3,len=len[last]+1=2$
  从$last$开始跳后缀链接
  $2$没有${}^{\prime }{b}^{\prime }$边，新建一条并指向$3$，跳后缀链接到$1$
  $1$没有${}^{\prime }{b}^{\prime }$边，新建一条并指向$3$
  此时已经到了根节点，$3$的后缀链接只能指向$1$，$last=3$
  
  Ⅳ 将${}^{\prime }{c}^{\prime }$扔进去，新建一个节点$cnt=4,len=3$
  从$last$开始跳后缀链接
  $3$没有${}^{\prime }{c}^{\prime }$边，新建一条并指向$4$，跳后缀链接到$1$
  $1$没有${}^{\prime }{c}^{\prime }$边，新建一条并指向$4$
  此时已经到了根节点，$4$的后缀链接只能指向$1$，$last=4$
  Ⅴ 将${}^{\prime }{d}^{\prime }$扔进去，新建一个节点$cnt=5,len=4$
  从$last$开始跳后缀链接
  $4$没有${}^{\prime }{c}^{\prime }$边，新建一条并指向$5$，跳后缀链接到$1$
  $1$没有${}^{\prime }{c}^{\prime }$边，新建一条并指向$5$
  此时已经到了根节点，$5$的后缀链接只能指向$1$，$last=5$
  
  最简单的一种后缀自动机就完成了
  接下来就尝试一下进阶版

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• $e.g.2$，构建$ababe$的后缀自动机
  Ⅰ先搭建空源点，$last=1$
  
  Ⅱ 加入${}^{\prime }{a}^{\prime }$，新建一个节点$cnt=2,len[2]=len[last]+1=1$
  $1$没有${}^{\prime }{c}^{\prime }$边，新建一条并指向$2$，
  此时已经到了根节点，$2$的后缀链接只能指向$1$，$last=2$
  
  Ⅲ 加入${}^{\prime }{b}^{\prime }$，新建一个节点$cnt=3,len[3]=len[last]+1=2$
  从$last$开始跳后缀链接
  $2$没有${}^{\prime }{b}^{\prime }$边，新建一条并指向$3$，跳后缀链接到$1$
  $1$没有${}^{\prime }{b}^{\prime }$边，新建一条并指向$3$
  此时已经到了根节点，$3$的后缀链接只能指向$1$，$last=3$
  
  Ⅳ 再加入${}^{\prime }{a}^{\prime }$，新建一个节点$cnt=4,len[4]=len[last]+1=3$
  从$last$开始跳后缀链接
  $3$没有${}^{\prime }{a}^{\prime }$边，新建一条并指向$4$，跳后缀链接到$1$
  $1$有一条指向$2$的${}^{\prime }{a}^{\prime }$边，满足$len[2]=len[1]+1$，则直接将$4$后缀链接指向$2$
  结束，$last=4$
  
  Ⅴ 再加入${}^{\prime }{b}^{\prime }$，新建一个节点$cnt=5,len[5]=len[last]+1=4$
  从$last$开始跳后缀链接
  $4$没有${}^{\prime }{b}^{\prime }$边，新建一条并指向$5$，跳后缀链接到$2$
  $2$有一条指向$3$的${}^{\prime }{b}^{\prime }$边，满足$len[3]=len[2]+1$，直接将$5$后缀链接指向$3$
  结束，$last=5$
  
  Ⅵ 加入新${}^{\prime }{c}^{\prime }$，新建一个节点$cnt=6,len[6]=len[last]+1=5$
  从$last$开始跳后缀链接
  $5$没有${}^{\prime }{c}^{\prime }$边，新建一条并指向$6$，跳后缀链接到$3$
  $3$没有${}^{\prime }{c}^{\prime }$边，新建一条并指向$6$，跳后缀链接到$1$
  $1$没有${}^{\prime }{c}^{\prime }$边，新建一条并指向$6$
  此时已到根节点，$6$只能链接$1$，$last=6$结束
  这就是进阶版了，没有涉及到最终版的点复制
  最后让我们一起携手走进最终版的后缀自动机构造

---

• $e.g.3$，构建$cabab$的后缀自动机
  Ⅰ 创造新源点，$last=1,cnt=1$
  
  Ⅱ 加入${}^{\prime }{c}^{\prime }$，新建一个节点$cnt=2,len[2]=len[last]+1=1$
  从$last$开始跳后缀链接
  $1$没有${}^{\prime }{c}^{\prime }$边，新建一条并指向$2$
  此时已到根节点，$2$只能链接$1,last=2$
  
  Ⅲ 加入${}^{\prime }{a}^{\prime }$，新建一个节点$cnt=3,len[3]=len[last]+1=2$
  从$last$开始跳后缀链接
  $2$没有${}^{\prime }{a}^{\prime }$边，新建一条并指向$3$，跳后缀链接到$1$
  $1$没有${}^{\prime }{a}^{\prime }$边，新建一条并指向$3$
  此时已到根节点，$3$只能链接$1,last=3$
  
  Ⅳ 加入${}^{\prime }{b}^{\prime }$，新建一个节点$cnt=4,len[4]=len[last]+1=3$
  从$last$开始跳后缀链接
  $3$没有${}^{\prime }{b}^{\prime }$边，新建一条并指向$4$，跳后缀链接到$1$
  $1$没有${}^{\prime }{a}^{\prime }$边，新建一条并指向$4$
  此时已到根节点，$4$只能链接$1,last=4$
  
  Ⅴ 加入${}^{\prime }{a}^{\prime }$，新建一个节点$cnt=5,len[5]=len[last]+1=4$
  从$last$开始跳后缀链接
  $4$没有${}^{\prime }{a}^{\prime }$边，新建一条并指向$5$，跳后缀链接到$1$
  $1$有${}^{\prime }{a}^{\prime }$边，指向$3$，但是！！！$len[3]\ne len[1]+1$，不能像进阶版直接链接，这里必须要点复制
  新建一个$3$的分身节点$cnt=6$
  $3$的所有信息（出入边）除了原字符串间的边（图中黑色边）全部修改为分点$6$的边，直接覆盖
  并且$6$成为$3$的直接后缀链接，替代$1$
  $len[6]=len[1]+1=1$
  相当于$6$做了$1,3$后缀链之间的承接点，保证了每一条边上$len$只会带来$+1$的影响
  $5$直接链接$6$后结束，$last=5$
  
  Ⅵ 加入${}^{\prime }{b}^{\prime }$，新建节点$cnt=7$
  从$last$开始跳后缀链接
  $5$没有${}^{\prime }{b}^{\prime }$边，新建一条指向$7$，跳后缀链接到$6$
  $6$有一条${}^{\prime }{b}^{\prime }$边，指向$4$，判断$len[4]\ne len[6]+1$
  
  再次执行复制操作
  新建一个$4$的分身节点$cnt=8$
  $4$的所有信息（出入边）除了原字符串间的边（图中黑色边）全部修改为分点$8$的边，直接进行覆盖
  $8$成为$4$的直接后缀链接，$len[8]=len[6]+1=2$
  $7$直接链接$8$后结束，$last=7$
  

⚡
$len[x]$复制点的$len$不等于被复制点的原后缀链接的$len+1$，而是谁触发的$len+1$

---

模板

struct node {
    
    
	int len; //长度
	int fa; //后缀链接
	int son[maxc]; //字符集大小 
}t[maxn];

模拟从主链的前一个开始跳后缀链接，并对于链接上的没有该字符边的每一个点都连出一条新字符边

while( pre && ! t[pre].son[c] ) t[pre].son[c] = now, pre = t[pre].fa;

跳到根，代表这是首个出现的字符，他只能链接最初的根节点了

if( ! pre ) t[now].fa = 1;

否则，如果路上找到了，满足$len$的关系，直接后缀链接指过去即可

int u = t[pre].son[c];
if( t[u].len == t[pre].len + 1 ) t[now].fa = u;

复制该点，并进行有关该点的所有信息重改
①原点连出的点，新点也要连出
②连入原点的点，变成连入新点
③原点和新点间也需建立联系，新点是原点的后缀链接

else {
    
    
	int v = ++ tot;
	t[v] = t[u];//利用结构体巧妙将原点连出的点进行复制
	t[v].len = t[pre].len + 1;//由谁触发 len就是触发点len+1
	t[u].fa = t[now].fa = v;//原点与复制点与新建点的关系
	while( pre && t[pre].son[c] == u ) t[pre].son[c] = v, pre = t[pre].fa;//暴力复制修改连入原点的点
}

---

习题

洛谷后缀自动机模板题

• code

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
using namespace std;
#define maxn 2000005
vector < int > G[maxn];
struct node {
    
    
	int fa, len;
	int son[30];
}t[maxn];
char s[maxn];
int last = 1, tot = 1;
long long ans;
int siz[maxn];

void insert( int c ) {
    
    
	int pre = last, now = last = ++ tot;
	siz[tot] = 1;
	t[now].len = t[pre].len + 1;
	while( pre && ! t[pre].son[c] ) t[pre].son[c] = now, pre = t[pre].fa;
	if( ! pre ) t[now].fa = 1;
	else {
    
    
		int u = t[pre].son[c];
		if( t[u].len == t[pre].len + 1 ) t[now].fa = u;
		else {
    
    
			int v = ++ tot;
			t[v] = t[u];
			t[v].len = t[pre].len + 1;
			t[u].fa = t[now].fa = v;
			while( pre && t[pre].son[c] == u ) t[pre].son[c] = v, pre = t[pre].fa;
		}
	}
}

void dfs( int u ) {
    
    
	for( int i = 0;i < G[u].size();i ++ ) {
    
    
		int v = G[u][i];
		dfs( v );
		siz[u] += siz[v];
	}
	if( siz[u] != 1 ) ans = max( ans, 1ll * siz[u] * t[u].len );
}

int main() {
    
    
	scanf( "%s", s );
	int len = strlen( s );
	for( int i = 0;i < len;i ++ ) insert( s[i] - 'a' );	
	for( int i = 2;i <= tot;i ++ ) G[t[i].fa].push_back( i );
	dfs( 1 );
	printf( "%lld", ans );
	return 0;
}

品酒大会

• solution
  有一个$SAM$常用结论：前缀$i,j$的最长公共后缀$=parenttree$上前缀$i,j$分别指向的点$u,v$的$lca$反映在后缀自动机上的节点代表的最长子串
  将本题的字符串倒过来建后缀自动机，在自动机上进行树上$dp$，最后从后往前进行更新即可
• code

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
#define inf 0x7f7f7f7f
#define int long long
#define maxn 600005
struct node {
    
    
	int len, fa;
	int son[30];
}t[maxn];
vector < int > G[maxn];
int last = 1, cnt = 1, n;
char s[maxn];
int a[maxn], f[maxn], tot[maxn], siz[maxn], maxx[maxn], minn[maxn];

void insert( int x, int w ) {
    
    
	int pre = last, now = last = ++ cnt;
	siz[now] = 1, t[now].len = t[pre].len + 1;
	maxx[now] = minn[now] = w;
	while( pre && ! t[pre].son[x] ) t[pre].son[x] = now, pre = t[pre].fa;
	if( ! pre ) t[now].fa = 1;
	else {
    
    
		int u = t[pre].son[x];
		if( t[u].len == t[pre].len + 1 ) t[now].fa = u;
		else {
    
    
			int v = ++ cnt;
			maxx[v] = -inf, minn[v] = inf;
			t[v] = t[u];
			t[v].len = t[pre].len + 1;
			t[u].fa = t[now].fa = v;
			while( pre && t[pre].son[x] == u ) t[pre].son[x] = v, pre = t[pre].fa;
		}
	}
}

bool check( int u ) {
    
    
	return maxx[u] != -inf && minn[u] != inf;
}

void dfs( int u ) {
    
    
	for( int i = 0;i < G[u].size();i ++ ) {
    
    
		int v = G[u][i];
		dfs( v );
		tot[t[u].len] += siz[u] * siz[v];
		siz[u] += siz[v];
		if( check( u ) )
			f[t[u].len] = max( f[t[u].len], max( maxx[u] * maxx[v], minn[u] * minn[v] ) );
		maxx[u] = max( maxx[u], maxx[v] );
		minn[u] = min( minn[u], minn[v] );
	}
}

signed main() {
    
    
	memset( f, -0x7f, sizeof( f ) );
	scanf( "%d %s", &n, s + 1 );
	for( int i = 1;i <= n;i ++ )
		scanf( "%lld", &a[i] );
	for( int i = n;i;i -- ) insert( s[i] - 'a', a[i] );	
	for( int i = 2;i <= cnt;i ++ ) G[t[i].fa].push_back( i );
	dfs( 1 );
	for( int i = n - 1;~ i;i -- ) tot[i] += tot[i + 1], f[i] = max( f[i], f[i + 1] );
	for( int i = 0;i < n;i ++ )
		printf( "%lld %lld\n", tot[i], ( tot[i] ? f[i] : 0 ) );
	return 0;
}

[HEOI2015]最短不公共子串

• solution
  做此题需要了解序列自动机
  然后就是很无脑的四个$bfs$跑
  子串就是跑后缀自动机
  子序列就是跑序列自动机
• code

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
#define maxn 5000
char a[maxn], b[maxn];

struct SAM {
    
    
	struct node {
    
    
		int len, fa;
		int son[30];
	}t[maxn];
	int last, cnt;
	
	SAM() {
    
    
		last = cnt = 1;
	}
	
	void insert( int x ) {
    
    
		int pre = last, now = last = ++ cnt;
		t[now].len = t[pre].len + 1;
		while( pre && ! t[pre].son[x] ) t[pre].son[x] = now, pre = t[pre].fa;
		if( ! pre ) t[now].fa = 1;
		else {
    
    
			int u = t[pre].son[x];
			if( t[u].len == t[pre].len + 1 ) t[now].fa = u;
			else {
    
    
				int v = ++ cnt;
				t[v] = t[u];
				t[v].len = t[pre].len + 1;
				t[u].fa = t[now].fa = v;
				while( pre && t[pre].son[x] == u ) t[pre].son[x] = v, pre = t[pre].fa;
			}
		}
	}
	
}SamA, SamB;

struct SEQ {
    
    
	int nxt[maxn][30], last[30];
	
	SEQ() {
    
    
		memset( nxt, 0, sizeof( nxt ) );
		memset( last, 0, sizeof( last ) );
	}
	
	void build( int n, char *s ) {
    
    
		for( int i = n;~ i;i -- ) {
    
    
			for( int j = 0;j < 26;j ++ )
				if( last[j] ) nxt[i + 1][j] = last[j];
			if( i ) last[s[i] - 'a'] = i + 1;
		}
	}
	
}SeqA, SeqB;

struct node {
    
    
	int x, y, dep;
	node(){
    
    }
	node( int X, int Y, int Dep ) {
    
    
		x = X, y = Y, dep = Dep;
	}
};
queue < node > q;
bool vis[maxn][maxn];

void init() {
    
    
	memset( vis, 0, sizeof( vis ) );
	while( ! q.empty() ) q.pop();
	vis[1][1] = 1, q.push( node( 1, 1, 0 ) );
}

int bfs1() {
    
    
	init();
	while( ! q.empty() ) {
    
    
		node now = q.front(); q.pop();
		for( int i = 0;i < 26;i ++ ) {
    
    
			int sonA = SamA.t[now.x].son[i];
			int sonB = SamB.t[now.y].son[i];
			if( vis[sonA][sonB] ) continue;
			else if( sonA && ! sonB ) return now.dep + 1;
			else if( sonA && sonB ) {
    
    
				vis[sonA][sonB] = 1;
				q.push( node( sonA, sonB, now.dep + 1 ) );
			}
		}
	}
	return -1;
}

int bfs2() {
    
    
	init();
	while( ! q.empty() ) {
    
    
		node now = q.front(); q.pop();
		for( int i = 0;i < 26;i ++ ) {
    
    
			int sonA = SamA.t[now.x].son[i];
			int sonB = SeqB.nxt[now.y][i];
			if( vis[sonA][sonB] ) continue;
			else if( sonA && ! sonB ) return now.dep + 1;
			else if( sonA && sonB ) {
    
    
				vis[sonA][sonB] = 1;
				q.push( node( sonA, sonB, now.dep + 1 ) );
			}
		}
	}
	return -1;
}

int bfs3() {
    
    
	init();
	while( ! q.empty() ) {
    
    
		node now = q.front(); q.pop();
		for( int i = 0;i < 26;i ++ ) {
    
    
			int sonA = SeqA.nxt[now.x][i];
			int sonB = SamB.t[now.y].son[i];
			if( vis[sonA][sonB] ) continue;
			else if( sonA && ! sonB ) return now.dep + 1;
			else if( sonA && sonB ) {
    
    
				vis[sonA][sonB] = 1;
				q.push( node( sonA, sonB, now.dep + 1 ) );
			}
		}
	}
	return -1;
}

int bfs4() {
    
    
	init();
	while( ! q.empty() ) {
    
    
		node now = q.front(); q.pop();
		for( int i = 0;i < 26;i ++ ) {
    
    
			int sonA = SeqA.nxt[now.x][i];
			int sonB = SeqB.nxt[now.y][i];
			if( vis[sonA][sonB] ) continue;
			else if( sonA && ! sonB ) return now.dep + 1;
			else if( sonA && sonB ) {
    
    
				vis[sonA][sonB] = 1;
				q.push( node( sonA, sonB, now.dep + 1 ) );
			}
		}
	}
	return -1;
}

int main() {
    
    
	scanf( "%s %s", a + 1, b + 1 );
	int lena = strlen( a + 1 ), lenb = strlen( b + 1 );
	for( int i = 1;i <= lena;i ++ )
		SamA.insert( a[i] - 'a' );
	for( int i = 1;i <= lenb;i ++ )
		SamB.insert( b[i] - 'a' );
	SeqA.build( lena, a );
	SeqB.build( lenb, b );
	printf( "%d\n%d\n%d\n%d\n", bfs1(), bfs2(), bfs3(), bfs4() );
	return 0;
} 

字符串

• solution

这题运用的思想主要是广义后缀自动机，即将多个字符串建在一个后缀自动机上
其实并没有什么新颖之处，只需在扩展的时候带一个这个字符属于哪个字符串的编号即可

假设已经建好了自动机，接下来考虑两个长度为$k$的子串之间如何一一对应修改
这个时候如果将其放到$parenttree$上考虑的话，就简单了

其实可以猜想一下，刚开始我就想到了虚树的性质，即相邻两两配对
不难证明，的确应该相邻两个不同属类的子串配对

前缀$i,j$的最长公共后缀$=parenttree$上前缀$i,j$分别指向的点$u,v$的$lca$反映在后缀自动机上的节点代表的最长子串

也就是最后变成深搜一棵树的模样，记得特判可能$lca$代表的最长子串长度$\ge k$
此时是不需要代价的

• code

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define maxn 600005
struct node {
    
    
	int len, fa;
	int son[30];
}t[maxn];
vector < int > G[maxn];
int n, k, last = 1, cnt = 1;
long long ans;
char a[maxn], b[maxn];
int type[maxn];
int tot[maxn][3];

void insert( int x, int s, int pos ) {
    
    
	int pre = last, now = last = ++ cnt;
	t[now].len = t[pre].len + 1;
	while( pre && ! t[pre].son[x] ) t[pre].son[x] = now, pre = t[pre].fa;
	if( ! pre ) t[now].fa = 1;
	else {
    
    
		int u = t[pre].son[x];	
		if( t[u].len == t[pre].len + 1 ) t[now].fa = u;
		else {
    
    
			int v = ++ cnt;
			t[v] = t[u];
			t[v].len = t[pre].len + 1;
			t[u].fa = t[now].fa = v;
			while( pre && t[pre].son[x] == u ) t[pre].son[x] = v, pre = t[pre].fa;
		}
	}
	if( pos >= k ) type[now] = s;
}

void dfs( int u ) {
    
    
	tot[u][type[u]] ++;
	for( int i = 0;i < G[u].size();i ++ ) {
    
    
		int v = G[u][i];
		dfs( v );
		tot[u][1] += tot[v][1];
		tot[u][2] += tot[v][2];
	}
	if( tot[u][1] >= tot[u][2] ) {
    
    
		int x = max( 0, k - t[u].len );
		ans += 1ll * x * tot[u][2];
		tot[u][1] -= tot[u][2];
		tot[u][2] = 0;
	}
	else {
    
    
		int x = max( 0, k - t[u].len );
		ans += 1ll * x * tot[u][1];
		tot[u][2] -= tot[u][1];
		tot[u][1] = 0;
	}
}

int main() {
    
    
	scanf( "%d %d %s %s", &n, &k, a + 1, b + 1 );
	reverse( a + 1, a + n + 1 );
	reverse( b + 1, b + n + 1 );
	for( int i = 1;i <= n;i ++ ) insert( a[i] - 'a', 1, i );
	for( int i = 1;i <= n;i ++ ) insert( b[i] - 'a', 2, i );
	for( int i = 2;i <= cnt;i ++ ) G[t[i].fa].push_back( i );
	dfs( 1 );
	printf( "%lld", ans );
	return 0;
}