P3225 [HNOI2012] Tarjan v-DCC

题意

传送门 P3225 [HNOI2012]矿场搭建

题解

节点坍塌即将节点及其相连边从图中删去，考虑割点。为了保证任一节点坍塌后图中仍存在救援点，则图中至少存在两个救援点。若 $v-DCC$ 中非割点坍塌，其余节点可以从割点向外走到某个救援节点；若 $v-DCC$ 割点坍塌，若 $v-DCC$ 中不存在其余割点，则需要在任一非割点处建立救援点，否则，可以从其余割点向外走到某个救援节点。

推论：若图中存在割点，则图中仅有 $1$ 个割点的 $v-DCC$ 至少存在 $2$ 个。

证明。若图中仅存在割点数为 $1$ 的 $v-DCC$，割点至少分割出两个 $v-DCC$。若图中存在割点数大于 $1$ 的 $v-DCC$，设其编号为 $x$，这样的 $v-DCC$ 至少向 $2$ 个割点处的其它 $v-DCC$ 保持连通性，设其编号为 $y,z$。若 $y,z$ 割点数为 $1$，推论显然成立。否则，以 $y$ 为例，反证法，将 $x$ 从图中删去，此时 $y,z$ 不连通，此时若 $y$ 不与某个割点数为 $1$ 的 $v-DCC$ 连通，则 $y$ 所连接的 $v-DCC$ 都至少对 $2$ 个方向保持连通性，$y$ 将与其他 $v-DCC$ 构成环，这与 $v-DCC$ 的极大性矛盾。

若图中存在割点，则最少点数为图中割点数为 $1$ 的 $v-DCC$ 的数量，方案数为这些 $v-DCC$ 中非割点数量之积。若图中无割点，则最少点数为 $2$，方案数为 ${\text{C}}_N^2$。

割点数为 $1$ 的 $v-DCC$ 至少包含 $1$ 个非割点，则 $Tarjan$ 求解过程中可以不使用栈维护 $v-DCC$，仅求出割点；然后仅对存在非割点的 $v-DCC$ 进行 $DFS$。

题目疑似默认点编号为从 $1$ 开始至输入节点的最大值 （$N>1$）的连续编号，且图为连通图。否则，代码中需要对编号进行离散化，并依次处理各联通分量。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
const int maxn = 505, maxm = maxn * 2;
int T, N, M, num, dfn[maxn], low[maxn];
int tot, head[maxn], to[maxm], nxt[maxm];
int cnt, sum, res1, vsc[maxn];
bool cut[maxn], vs[maxn];
ull res2;

inline void add(int x, int y) {
    
     to[++tot] = y, nxt[tot] = head[x], head[x] = tot; }

void tarjan(int x, int rt)
{
    
    
    dfn[x] = low[x] = ++num;
    int fg = 0;
    for (int i = head[x]; i; i = nxt[i])
    {
    
    
        int y = to[i];
        if (!dfn[y])
        {
    
    
            tarjan(y, rt);
            low[x] = min(low[x], low[y]);
            if (low[y] >= dfn[x])
            {
    
    
                ++fg;
                if (x != rt || fg > 1)
                    cut[x] = 1;
            }
        }
        else
            low[x] = min(low[x], dfn[y]);
    }
}

void dfs(int x, int dcc)
{
    
    
    vs[x] = 1, ++sum;
    for (int i = head[x]; i; i = nxt[i])
    {
    
    
        int y = to[i];
        if (!cut[y] && !vs[y])
            dfs(y, dcc);
        else if (cut[y] && vsc[y] != dcc)
            ++cnt, vsc[y] = dcc;
    }
}

int main()
{
    
    
    while (~scanf("%d", &M) && M)
    {
    
    
        memset(dfn, 0, sizeof(dfn));
        memset(cut, 0, sizeof(cut));
        memset(head, 0, sizeof(head));
        N = num = tot = 0, res1 = 0, res2 = 1;
        for (int i = 1, x, y; i <= M; ++i)
            scanf("%d%d", &x, &y), add(x, y), add(y, x), N = max(N, max(x, y));
        tarjan(1, 1);
        memset(vs, 0, sizeof(vs));
        memset(vsc, 0, sizeof(vsc));
        bool _cut = 0;
        for (int i = 1, k = 0; i <= N; ++i)
        {
    
    
            _cut |= cut[i];
            if (!cut[i] && !vs[i])
            {
    
    
                cnt = sum = 0, dfs(i, ++k);
                if (cnt == 1)
                    ++res1, res2 *= sum;
            }
        }
        if (!_cut)
            res1 = 2, res2 = N * (N - 1) / 2;
        printf("Case %d: %d %llu\n", ++T, res1, res2);
    }
    return 0;
}