POJ 2942 Tarjan v-DCC + 二分图判定

题意

传送门 POJ 2942 Knights of the Round Table

题解

建出补图，即没有仇恨的两个骑士间连边，问题转化为求图中不被任何奇环包含的节点数量。

无论是 $e-DCC$ 或 $v-DCC$ 都满足在同一环上的两个节点位于相同的双连通分量。否则，将与双连通分量的极大性矛盾。

若图中存在奇环，则图不是二分图，可以用 $DFS$ 的染色法判定，但并不能求出所有的奇环。同一个 $e-DCC$ 中两个不同的环至少存在一个交点；而同一个 $v-DCC$ 中两个不同的环至少存在两个节点，即至少存在一条边，那么某个环被交点划分为两条长度分别为奇数与偶数的边。

引理：若某个 $v-DCC$ 中存在奇环，则这个 $v-DCC$ 中的所有点都被至少一个奇环包含。

那么用 $Tarjan$ 算法求出补图中所有的 $v-DCC$，判定各个 $v-DCC$ 是否存在奇环即可。

$v-DCC$ 与 $e-DCC$ 不同，不能简单地通过求出割点后 $DFS$ 求解，因为 $v-DCC$ 可能仅由割点构成，同一个割点可能被多个 $v-DCC$ 包含。应该在 $Tarjan$ 算法中维护一个栈，当一个节点第一次被访问时，将节点入栈；当割点判定的条件 $low[y]\ge dfn[x]$ 成立时，无论 $x$ 是否为根，都要不断弹栈，直至 $y$ 节点被弹出，此时弹出的所有节点与 $x$ 构成一个 $v-DCC$。

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxn = 1005, maxm = 1000005;
int N, M, num, dfn[maxn], low[maxn];
int tot, head[maxn], to[maxm], nxt[maxm];
int top, st[maxn], nr, rec[maxn];
int dcc, dc[maxn], col[maxn];
bool in[maxn], G[maxn][maxn];

void init()
{
    
    
    num = tot = dcc = top = 0;
    memset(in, 0, sizeof(in));
    memset(G, 0, sizeof(G)), memset(head, 0, sizeof(head));
    memset(dfn, 0, sizeof(dfn)), memset(dc, 0, sizeof(dc));
}

inline void add(int x, int y) {
    
     to[++tot] = y, nxt[tot] = head[x], head[x] = tot; }

bool find(int x, int c)
{
    
    
    col[x] = c;
    for (int i = head[x]; i; i = nxt[i])
    {
    
    
        int y = to[i];
        if (dc[y] != dcc)
            continue;
        if (!col[y])
        {
    
    
            if (find(y, -c))
                return 1;
        }
        else if (col[y] == c)
            return 1;
    }
    return 0;
}

void tarjan(int x, int rt)
{
    
    
    dfn[x] = low[x] = ++num;
    st[++top] = x;
    for (int i = head[x]; i; i = nxt[i])
    {
    
    
        int y = to[i];
        if (!dfn[y])
        {
    
    
            tarjan(y, rt);
            low[x] = min(low[x], low[y]);
            if (low[y] >= dfn[x])
            {
    
    
                int sum = 1, z;
                ++dcc, nr = 0;
                rec[++nr] = x, dc[x] = dcc;
                do
                {
    
    
                    z = st[top--], rec[++nr] = z, dc[z] = dcc, ++sum;
                } while (z != y);
                if (sum >= 3)
                {
    
    
                    for (int j = 1; j <= nr; ++j)
                        col[rec[j]] = 0;
                    if (find(x, 1))
                        for (int j = 1; j <= nr; ++j)
                            in[rec[j]] = 1;
                }
            }
        }
        else
            low[x] = min(low[x], dfn[y]);
    }
}

int main()
{
    
    
    while (~scanf("%d%d", &N, &M) && (N | M))
    {
    
    
        init();
        for (int i = 1, x, y; i <= M; ++i)
            scanf("%d%d", &x, &y), G[x][y] = G[y][x] = 1;
        for (int i = 1; i <= N; ++i)
            for (int j = i + 1; j <= N; ++j)
                if (!G[i][j])
                    add(i, j), add(j, i);
        for (int i = 1; i <= N; ++i)
            if (!dfn[i])
                tarjan(i, i);
        int res = N;
        for (int i = 1; i <= N; ++i)
            res -= in[i];
        printf("%d\n", res);
    }
    return 0;
}