补三道思维题：Codeforces Round #655 (Div. 2)【BCD】

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B. Omkar and Last Class of Math

题意：给出一个整数$n$(1e9范围内)，给出条件$a+b=n$，要使得$lcm(a,b)$最小，输出$a$和$b$。

做法：结论是其中一个答案是$n$的最大因子（由于不会证明被拖出去枪毙 ），找了找官方题解的证明，总结（翻译 ）了一下证明如下：
令$a=k,b=n-k$，假设$k\le n-k$，意味着$n-k\ge \frac{n}{2}$；
如果$k|n$，即存在$m\ast k=n,n-k=m\ast k-k=(m-1)\ast k$，这时可得$lcm(k,n-k)=n-k<n$；
如果$k†n$，且$k†n-k$，那么$lcm(k,n-k)\ne n-k$，且$lcm(k,n-k)$会是$k$和$n-k$的乘积，这时$lcm(k,n-k)\ge 2\ast (n-k)\ge 2\ast \frac{n}{2}=n$；
$k|n$时$lcm<n$，而$k†n$时$lcm\ge n$，故$k|n$时$lcm$存在最小，且当$k|n$时，因为答案$lcm(k,n-k)=n-k$，要使得$n-k$尽量小，那么$k$就得尽量大，故$k$就是$n$的最大因子啦。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL res = 1e18;
int main() {
    
    
  int t; scanf("%d", &t);
  int n;
  while(t--) {
    
    
    scanf("%d", &n);
    int a, b, ans = n - 1;
    for(int i = 1; i*i <= n; ++i) {
    
    
      if(n % i == 0) {
    
    
        ans = min(ans, n-i);
        if(i != 1) ans = min(ans, n-n/i);
      } 
    }
    printf("%d %d\n", ans, n-ans);
  }
  return 0;
} 

C. Omkar and Baseball

题意：有一种操作，会使得一个区间内所有数字位置都和原来位置不同，问最少多少次操作能使得长度为$n$(2e5范围内)的全排列变为$1-n$的顺序排列。

做法：一共是三种情况：
首先排除首尾已经在本位上的数字。
1、对于已经排好序的排列结果就是$0$
2、对于完全打乱的排列只需要$1$次操作就能恢复顺序排列。
3、对于部分打乱的排列结果是$2$，第一次让所有位置的都打乱，使得部分打乱的数字能回到原位，第二次还原原本就在本位上的数字，一共两次。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 2e5+10;
int a[N];
int main() {
    
    
  int t; scanf("%d", &t);
  int n;
  while(t--) {
    
    
    deque<int> dq;
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1, x; i <= n; ++i) {
    
    
      scanf("%d", &x);
      a[i] = 0; if(x == i) a[i] = 1;
    }
    //排除首位已经排好序的
    int lo = 1, hi = n;
    while(lo <= hi && a[lo]) ++lo;
    while(lo <= hi && a[hi]) --hi;
    if(lo > hi) {
    
    
      puts("0"); continue;
    }
    int res = 0;
    for(int i = lo; i <= hi; ++i) {
    
    
      if(!a[i]) ++res;
    }
    if(res == hi-lo+1) puts("1");
    else if(res) puts("2");
  }
  return 0;
} 

D. Omkar and Circle

题意：有$n$(2e5范围内且一定是奇数)个数字组成一个环，可以采用的操作是选取一个数字，用与他相邻的两个数字的和代替他自己，然后删掉相邻的两个数字，重复该操作，直到最后只剩下一个数字，要使得该数字最大，输出该数字。

做法：写出一组数据然后枚举情况就能发现，有固定的间隙的一些数字成为一个组合，这些数字的和是必须加上的，只是间隙所在位置不一样，直接暴力枚举就好啦！

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=4e5+10;
LL a[N],sum[N];
int main(){
    
    
    int n; scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++){
    
    
      scanf("%d", &a[i]);
      a[i+n] = a[i];
    }
    sum[1] = a[1];
    for(int i = 2; i <= n*2; i++) sum[i] = sum[i-2] + a[i];
    LL ans = 0;
    for(int i = n+1; i <= n*2; i++) ans = max(ans, sum[i]-sum[i-n-1]);
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}