现代通信原理7.1：模拟角度调制的基本概念

  正弦载波
$$c(t)=A_c\cos (2\pi f_{c}t+{\theta }_0)\text{\hspace{1em}(1)}$$有三个参量：幅度、频率和相位。前面我们讨论了模拟幅度调制，即用要传输的基带信号$m(t)$来改变信号的幅度，从频谱上看，是把基带信号频谱$M(f)$搬移到载频$f_c$处。由于这种搬移，只改变其幅度大小以及在频率轴上的位置，并不改变其频谱的形状，这种幅度调制，我们也称为线性调制。如果用基带信号$m(t)$来改变载波的频率和相位，就可以得到频率调制(frequency modulation, FM)和相位调制(phase modulation, PM)，统称为角度调制。
  角度调制信号的一般形式为
$$s(t)=A_c\cos [2\pi f_{c}t+\theta (t)]=A_c\cos \phi (t),\text{\hspace{1em}(2)}$$其瞬时相位为$\phi (t)=2\pi f_{c}t+\theta (t)$，其中$2\pi f_{c}t$为载波相位，$\theta (t)$成为瞬时相位偏移，是由基带调制信号$m(t)$所决定的。那么到底$\theta (t)$与$m(t)$是什么关系呢？这要分FM和PM两种情况来讨论。

1、角调制基本概念

1.1 相位调制(phase modulation, PM)

  所谓相位调制信号，意味着已调信号的瞬时相位偏移$\theta (t)$与基带调制信号$m(t)$之间存在线性关系，即
$$\theta (t)=K_{p}m(t)，\text{\hspace{1em}(3)}$$这里的$k_p$称为调相系数，其单位为rad/V。它反应了调制器的灵敏度，即基带信号每改变1V，相位相应偏移多少rad。进一步，我们有瞬时相位为
$$\phi (t)=2\pi f_{c}t+\theta (t)。\text{\hspace{1em}(4)}$$我们知道，瞬时角频率$\omega (t)$与相位$\phi (t)$关系为
$$\omega (t)=\frac{d\phi (t)}{dt}=2\pi f_c+\frac{d\theta (t)}{dt},\text{\hspace{1em}(5)}$$因此可以得到瞬时频率为
$$f_i(t)=\frac{\omega (t)}{2\pi }=f_c+\frac{1}{2\pi }\cdot \frac{d\theta (t)}{dt},\text{\hspace{1em}(6)}$$故瞬时频率偏移为
$$f_d(t)=\frac{1}{2\pi }\cdot \frac{d\theta (t)}{dt}.\text{\hspace{1em}(7)}$$因此，已调信号可以表示为
$$s_{\mathrm{P}\mathrm{M}}(t)=A_c\cos [2\pi f_{c}t+k_{p}m(t)].\text{\hspace{1em}(8)}$$

1.2 频率调制(frequency modulation, FM)

  所谓频率调制信号，意味着已调信号的瞬时频率偏移$f_d(t)$与基带调制信号$m(t)$之间存在线性关系，即
$$f_d(t)=f_i(t)-f_c=K_{f}m(t)，\text{\hspace{1em}(9)}$$这里的$k_f$称为调频系数，其单位为Hz/V。它反应了调制器的灵敏度，即基带信号每改变1V，频率相应改变多少Hz。进一步，我们有瞬时频率为
$$f_i(t)=f_c+K_{f}m(t)\text{\hspace{1em}(10)}$$我们知道，瞬时相位$\phi (t)$与瞬时频率$f_i(t)$关系为
$$\phi (t)=2\pi \int f_i(t)dt=2\pi f_{c}t+K_f\int m(t)dt,\text{\hspace{1em}(11)}$$故瞬时相位偏移为
$$\theta (t)=K_f\int m(t)dt.\text{\hspace{1em}(12)}$$因此，已调信号可以表示为
$$s_{\mathrm{F}\mathrm{M}}(t)=A_c\cos [2\pi f_{c}t+k_f\int m(t)dt].\text{\hspace{1em}(13)}$$

2、PM与FM等效关系

3、频率与相位偏移

  针对角度调制，我们来讨论如下参数：

• 频率偏移
  $$f_d(t)=f_i(t)-f_c=\frac{1}{2\pi }\cdot \frac{d\theta (t)}{dt}\text{\hspace{1em}(14)}$$
• 峰值频偏
  $$\Delta f_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\max [\frac{1}{2\pi }\cdot \frac{d\theta (t)}{dt}]\text{\hspace{1em}(15)}$$
• 峰值相偏
  $$\Delta {\theta }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}[\theta (t)]\text{\hspace{1em}(16)}$$
• 调相指数（峰值相偏）
  $${\beta }_p=\Delta {\theta }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\text{\hspace{1em}(17)}$$
• 调频指数
  $${\beta }_f=\frac{\Delta f_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}{B},\text{\hspace{1em}(18)}$$这里$B$为基带信号$m(t)$带宽。
    下面我们就分别来分析PM的相偏和FM信号的频偏。

2.1 PM信号的相偏

  由(8)可以得到，PM信号的相偏为
$$\theta (t)=k_{p}m(t),\text{\hspace{1em}(19)}$$因此峰值相偏为
$$\Delta {\theta }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=k_p\max [|m(t)|],\text{\hspace{1em}(20)}$$也即为调相指数。

2.2 FM信号的频偏

  由(9)可以得到，FM信号的瞬时频偏为
$$f_d(t)=k_{f}m(t),\text{\hspace{1em}(21)}$$因此峰值频偏为
$$\Delta f_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=k_f\max [|m(t)|],\text{\hspace{1em}(22)}$$调频指数为
$${\beta }_f=K_f\frac{\max [|m(t)|]}{B}.\text{\hspace{1em}(23)}$$

【例题】基带信号$m(t)=a\cos (2\pi f_{m}t)$，载波为$A_c\cos (2\pi f_{c}t)$，请写出调频以及调相信号表示式，并求调制指数。
【解】
（1）PM信号表达式为
$$\begin{array}{rl}{s}_{\mathrm{P}\mathrm{M}}(t)& =A_c\cos [2\pi f_{c}t+K_{p}m(t)]\\ & =A_c\cos [2\pi f_{c}t+K_{p}a\cos 2\pi f_{m}t]，\end{array}$$瞬时相位偏移为
$$\theta (t)=K_{p}a\cos 2\pi f_{m}t,$$其最大值为
$$\Delta {\theta }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}[\theta (t)]=K_{p}a.$$因此调相指数${\beta }_p=K_{p}a$。
（2）FM信号表达式为
$$\begin{array}{rl}{s}_{\mathrm{F}\mathrm{M}}(t)& =A_c\cos [2\pi f_{c}t+K_f\int m(t)dt]\\ & =A_c\cos [2\pi f_{c}t+\frac{K_{f}a}{f_m}\cdot \sin 2\pi f_{m}t]，\end{array}$$瞬时频率偏移为
$$f_d(t)=K_{f}a\cos 2\pi f_{m}t,$$其最大值为
$$\Delta f_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}[f_d(t)]=K_{f}a.$$因此调相指数${\beta }_f=\frac{K_{f}a}{f_m}$，等于最大相偏$\Delta {\theta }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$。