伪随机数产生的乘同余法

引入

我们都知道我们平常代码所用的随机数都是伪随机数，大家是否想过我们的计算机能否产生真随机数？其实，是可以的，比如使用物理方法：

但是，

伪随机数

所以，我们大多都偏爱了伪随机数，下面，让我们来了解伪随机数到底是如何生成的。

我们先设计一个函数$f(x)$（也可以叫做递推公式），然后给定$x_1$，输出$x_2$，即$x_2=f(x_1)$，然后依次进行下去，$x_3=f(x_2)$，…，$x_n=f(x_{n-1})$。这样，我们就有了$n-1$个随机数（给定的$x_1$我这里不算）。至此，伪随机数的生成工作就完成了。

不过，我们应该能都发现，上述过程存在着一些问题：

1. 只要两次给定的初始值$x_1$是相同的，那么生成的随机数序列就是相同的。
2. 产生的随机数序列会有周期性现象，试着想想，如果生成$[0,31]$的随机数，一旦发现产生的随机数序列中出现两个一样的数，$x_i=x_{i+T}$,那么$T$就是周期，因为套用那个函数$f(x)$得到的后续结果是一模一样的。

上面的两个问题都足以说明：用这种方法产生的随机数是伪随机数。

利用上面的第2个问题，我们补充一些概念：

周期：出现循环现象的伪随机数个数，比如上面是$T$。因为随机数序列中$x_i$和$x_{i+T}$中的所有随机数都会一直循环下去，这里一共有n个。

最大容量：出现循环前，已经产生的随机数个数的最大值。前面的例子最大容量为$i+T$。

至此，我们对计算机中产生随机数的原理都大概懂了，但是我们还没有具体化这个递推函数$f(x)$。

乘同余法

该方法递推公式如下：
$x_{i+1}=(A{x}_i)mod(M)$
所以，其中难点出在了初值$x_1$、$A$ 和 $M$ 的设置上。