剑指 Offer 13. 机器人的运动范围(C++) DFS+回溯

地上有一个m行n列的方格，从坐标 [0,0] 到坐标 [m-1,n-1] 。一个机器人从坐标 [0, 0] 的格子开始移动，它每次可以向左、右、上、下移动一格（不能移动到方格外），也不能进入行坐标和列坐标的数位之和大于k的格子。例如，当k为18时，机器人能够进入方格 [35, 37] ，因为3+5+3+7=18。但它不能进入方格 [35, 38]，因为3+5+3+8=19。请问该机器人能够到达多少个格子？

示例 1：

输入：m = 2, n = 3, k = 1
输出：3

示例 2：

输入：m = 3, n = 1, k = 0
输出：1

提示：

1 <= n,m <= 100
0 <= k <= 20

解题思路：

在这里插入图片描述

根据可达解的结构和连通性，易推出机器人可仅通过向右和向下移动，访问所有可达解。

三角形内部：全部连通，易证；
两三角形连通处：若某三角形内的解为可达解，则必与其左边或上边的三角形连通（即相交），即机器人必可从左边或上边走进此三角形。

在这里插入图片描述

深度优先遍历 DFS思路

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Java/C++ 代码中 visited 为辅助矩阵，Python 中为 Set 。

class Solution {
    
    
public:
    int movingCount(int m, int n, int k) {
    
    
        vector<vector<bool>> visited(m, vector<bool>(n, 0));//标记当前单元格，走过表示ture
        return dfs(0, 0, 0, 0, visited, m, n, k);
    }
private:
    int dfs(int i, int j, int si, int sj, vector<vector<bool>> &visited, int m, int n, int k) {
    
    
        if(i >= m || j >= n || k < si + sj || visited[i][j]) return 0;//终止条件：
        // 当 ① 行列索引越界 或 ② 数位和超出目标值 k 或 ③ 当前元素已访问过 时，返回 0 ，代表不计入可达解。
        visited[i][j] = true;
        //计算当前元素的 下、右 两个方向元素的数位和,(i + 1, j)在(i , j)下方
        //i + 1, j, (i + 1) % 10 != 0 ? si + 1 : si - 8, sj,的原因，行列索引 i加1了，而 j不变，因此继续用sj
        // i, j + 1, si, (j + 1) % 10 != 0 ? sj + 1 : sj - 8  同理可得
        return 1 + dfs(i + 1, j, (i + 1) % 10 != 0 ? si + 1 : si - 8, sj, visited, m, n, k) +
                   dfs(i, j + 1, si, (j + 1) % 10 != 0 ? sj + 1 : sj - 8, visited, m, n, k);
    }
};

复杂度分析：

设矩阵行列数分别为 M, N 。

时间复杂度 O(MN) ：最差情况下，机器人遍历矩阵所有单元格，此时时间复杂度为 O(MN)。
空间复杂度 O(MN)：最差情况下，Set visited 内存储矩阵所有单元格的索引，使用 O(MN)的额外空间。

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作者：jyd
链接：https://leetcode-cn.com/problems/ji-qi-ren-de-yun-dong-fan-wei-lcof/solution/mian-shi-ti-13-ji-qi-ren-de-yun-dong-fan-wei-dfs-b/
来源：力扣（LeetCode）
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