数据流中的中位数★★★
LeetCode 剑指 Offer 41. 数据流中的中位数
【题目】如何得到一个数据流中的中位数？如果从数据流中读出奇数个数值，那么中位数就是所有数值排序之后位于中间的数值。如果从数据流中读出偶数个数值，那么中位数就是所有数值排序之后中间两个数的平均值。
例如，
[2,3,4] 的中位数是 3
[2,3] 的中位数是 (2 + 3) / 2 = 2.5
设计一个支持以下两种操作的数据结构：
void addNum(int num)- 从数据流中添加一个整数到数据结构中。double findMedian()- 返回目前所有元素的中位数。
【示例】
输入：
["MedianFinder","addNum","addNum","findMedian","addNum","findMedian"]
[[],[1],[2],[],[3],[]]
输出：[null,null,null,1.50000,null,2.00000]
【解题思路】堆
创建两个堆，其中一个为大根堆，另一个为小根堆。大根堆中保存较小的数，小根堆中保存较大的数。大根堆的队头接小根堆的队头正好形成升序排列的一组数。
每次加入数字x时，先将x加入大根堆，然后大根堆出堆一个数进入小根堆，保持大根堆数字数目 + 1 始终等于小根堆数字数目或者大根堆数字数目 始终等于小根堆数字数目
class MedianFinder {
PriorityQueue<Integer> pa; //大根堆
PriorityQueue<Integer> pb; //小根堆
public MedianFinder() {
pa = new PriorityQueue<Integer>((o1, o2) -> Integer.compare(o2, o1));
pb = new PriorityQueue<Integer>();
}
public void addNum(int num) {
pa.offer(num);
pb.offer(pa.poll());
if(pb.size() - 1 > pa.size()) pa.offer(pb.poll());
}
public double findMedian() {
return pa.size() == pb.size() ? (double)(pa.peek() + pb.peek()) / 2 : pb.peek();
}
}
滑动窗口中位数★★★
【题目】中位数是有序序列最中间的那个数。如果序列的大小是偶数，则没有最中间的数；此时中位数是最中间的两个数的平均数。
例如：
[2,3,4]，中位数是 3
[2,3]，中位数是 (2 + 3) / 2 = 2.5
给你一个数组 nums，有一个大小为 k 的窗口从最左端滑动到最右端。窗口中有 k 个数，每次窗口向右移动 1 位。你的任务是找出每次窗口移动后得到的新窗口中元素的中位数，并输出由它们组成的数组。
【示例】
给出 nums = [1,3,-1,-3,5,3,6,7]，以及 k = 3。
窗口位置 中位数
--------------- -----
[1 3 -1] -3 5 3 6 7 1
1 [3 -1 -3] 5 3 6 7 -1
1 3 [-1 -3 5] 3 6 7 -1
1 3 -1 [-3 5 3] 6 7 3
1 3 -1 -3 [5 3 6] 7 5
1 3 -1 -3 5 [3 6 7] 6
因此，返回该滑动窗口的中位数数组 [1,-1,-1,3,5,6]。
【解题思路】
方法一：思路同上寻找数据流中位数一样，使用两个堆。
需要注意的是，在堆中删除数据时要维护两个堆的大小平衡。
class Solution {
Queue<Integer> lo; //大根堆
Queue<Integer> hi; //小根堆
public double[] medianSlidingWindow(int[] nums, int k) {
lo = new PriorityQueue<Integer>((o1, o2) -> Integer.compare(o2, o1));
hi = new PriorityQueue<Integer>();
double[] res = new double[nums.length - k + 1];
for(int i = 0; i < nums.length; i++) {
addNum(nums[i]);
if(i < k - 1) continue;
res[i + 1 - k] = getMedium(k);
delNum(nums[i + 1 - k], k);
}
return res;
}
private void addNum(int num) {
lo.offer(num);
hi.offer(lo.poll());
if(hi.size() - 1 > lo.size()) lo.offer(hi.poll());
}
private void delNum(int num, int k) {
if(lo.contains(num)) {
lo.remove(num);
if(k % 2 == 1) lo.offer(hi.poll());
}else {
hi.remove(num);
if(k % 2 == 0) hi.offer(lo.poll());
}
}
private double getMedium(int k) {
if(k % 2 == 0) {
return ((double)lo.peek() + hi.peek()) / 2;
}else {
return (double)hi.peek();
}
}
}
方法二：插入排序+二分查找
用插入排序维护一个窗口，每次插入数据时使用二分查找寻找插入位置
class Solution {
public double[] medianSlidingWindow(int[] nums, int k) {
List<Integer> list = new ArrayList<Integer>();
double[] res = new double[nums.length - k + 1];
for(int i = 0; i < nums.length; i++) {
int pos = binarySearch(list, nums[i]);
list.add(pos, nums[i]);
if(list.size() < k) continue;
if(k % 2 == 0) {
res[i + 1 - k] = ((double)list.get(k / 2 - 1) + list.get(k / 2)) / 2;
}else {
res[i + 1 - k] = (double)list.get(k / 2);
}
list.remove((Integer)nums[i + 1 - k]);
}
return res;
}
//找到大于它的最小数的下标即为插入下标
private int binarySearch(List<Integer> list, int val) {
int le = 0, ri = list.size() - 1;
while(le <= ri) {
int mid = le + (ri - le) / 2;
if(list.get(mid) <= val) {
le = mid + 1;
}else {
ri = mid - 1;
}
}
return le;
}
}
寻找两个正序数组的中位数★★★
【题目】给定两个大小为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。请你找出并返回这两个正序数组的中位数。
进阶：你能设计一个时间复杂度为 O(log (m+n)) 的算法解决此问题吗？
【示例】
输入：nums1 = [1,2], nums2 = [3,4]
输出：2.50000
解释：合并数组 = [1,2,3,4] ，中位数 (2 + 3) / 2 = 2.5
【解题思路】
方法一：双指针合并
同归并排序中归并的思路一样，但时间复杂度并不符合要求，时间复杂度：O(m + n)
class Solution {
public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
double res = 0.0;
int i = 0, j = 0, k = 0;
int n = nums1.length + nums2.length;
while(k < n) {
double val = 0;
if(i >= nums1.length) {
val = nums2[j++];
}else if(j >= nums2.length) {
val = nums1[i++];
}else if(nums1[i] < nums2[j]) {
val = nums1[i++];
}else {
val = nums2[j++];
}
k++;
if(n % 2 == 0) {
if(k == n / 2) res = (double)val;
if(k == n / 2 + 1) {
res = (res + val) / 2;
break;
}
}else {
if(k == n / 2 + 1) {
res = (double)val;
break;
}
}
}
return res;
}
}
方法二：二分查找
时间复杂度：O(log(m + n))
解法来自本题力扣热评（Wait想念），如图所示
class Solution {
public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
int m = nums1.length;
int n = nums2.length;
int left = (m + n + 1) / 2;
int right = (m + n + 2) / 2;
return (findMid(nums1, 0, nums2, 0, left) + findMid(nums1, 0, nums2, 0, right)) / 2.0;
}
private int findMid(int[] nums1, int i, int[] nums2, int j, int k) {
if(i >= nums1.length) return nums2[j + k - 1];
if(j >= nums2.length) return nums1[i + k - 1];
if(k == 1) return Math.min(nums1[i], nums2[j]);
int midVal1 = (i + k / 2 - 1 < nums1.length) ? nums1[i + k / 2 - 1] : Integer.MAX_VALUE;
int midVal2 = (j + k / 2 - 1 < nums2.length) ? nums2[j + k / 2 - 1] : Integer.MAX_VALUE;
if(midVal1 < midVal2) {
return findMid(nums1, i + k / 2, nums2, j, k - k / 2);
}else {
return findMid(nums1, i, nums2, j + k / 2, k - k / 2);
}
}
}
下面为两个数据测试的变量轨迹
示例一：
nums1 = {
1, 4, 6, 10}
nums2 = {
2, 5, 7, 9}
left = (4 + 4 + 1) / 2 = 4, 调用findMid()
k = 4 i = 0 nums1[i] = 1 , j = 0 nums2[j] = 2
k = 2 i = 2 nums1[i] = 6 , j = 0 nums2[j] = 2
k = 1 i = 2 nums1[i] = 6 , j = 1 nums2[j] = 5
findMid()返回 nums2[1] = 5
right = (4 + 4 + 2) / 2 = 5, 调用findMid()
k = 5 i = 0 nums1[i] = 1 , j = 0 nums2[j] = 2
k = 3 i = 2 nums1[i] = 6 , j = 0 nums2[j] = 2
k = 2 i = 2 nums1[i] = 6 , j = 1 nums2[j] = 5
k = 1 i = 2 nums1[i] = 6 , j = 2 nums2[j] = 7
findMid()返回 nums1[2] = 6
示例二：
nums1 = {
1, 4, 6}
nums2 = {
2, 5, 7, 9}
left = (3 + 4 + 1) / 2 = 4, 调用findMid()
k = 4 i = 0 nums1[i] = 1 , j = 0 nums2[j] = 2
k = 2 i = 2 nums1[i] = 6 , j = 0 nums2[j] = 2
k = 1 i = 2 nums1[i] = 6 , j = 1 nums2[j] = 5
findMid()返回 nums2[1] = 5
right = (3 + 4 + 2) / 2 = 4, 同上