【LeetCode】（动态规划ி）典型典中典
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青蛙跳台阶问题★
LeetCode 剑指 Offer 10- II. 青蛙跳台阶问题
【题目】一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。
【示例】
输入：n = 2
输出：2
【解题思路】
斐波拉契数列 f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)
class Solution {
public int numWays(int n) {
if(n < 2) return 1;
long[] dp = new long[n + 1];
dp[0] = dp[1] = 1;
for(int i = 2; i <= n; i++) {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
dp[i] %= 1000000007;
}
return (int)dp[n];
}
}
状态压缩版
class Solution {
public int numWays(int n) {
long f0 = 1, f = 1;
for(int i = 2; i <= n; i++) {
long t = f;
f = (f0 + f) % 1000000007;
f0 = t;
}
return (int)f;
}
}
不同路径★★
【题目】一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？
【示例】
输入：m = 3, n = 7
输出：28
【解题思路】
方法一：动态规划
class Solution {
public int uniquePaths(int m, int n) {
int[][] dp = new int[101][101];
for(int i = 0; i < m; ++i){
dp[0][i] = 1;
}
for(int i = 0; i < n; ++i){
dp[i][0] = 1;
}
for(int i = 1; i < n; ++i){
for(int j = 1; j < m; ++j){
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
}
}
return dp[n - 1][m - 1];
}
}
方法二：数学组合问题
(m + n)中选择m个
class Solution {
public int uniquePaths(int m, int n) {
int C = m + n - 2;
int K = (m < n ? m : n) - 1;
double res = 1;
for(int i = 1; i <= K; i++) {
res = res * (C - i + 1) / i;
}
return (int)res;
}
}
礼物的最大价值★★
【题目】在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？
【示例】
输入:
[
[1,3,1],
[1,5,1],
[4,2,1]
]
输出: 12
解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物
【解题思路】
每次取左边或者上边最大值
class Solution {
public int maxValue(int[][] grid) {
int []dp = new int[grid[0].length + 1];
for(int i = 1; i <= grid.length; i++){
for(int j = 1; j <= grid[0].length; j++){
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - 1]) + grid[i - 1][j - 1];
}
}
return dp[grid[0].length];
}
}
完全平方数★★
【题目】给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, …）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。
给你一个整数 n ，返回和为 n 的完全平方数的 最少数量 。
完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。
【示例】
输入：n = 12
输出：3
解释：12 = 4 + 4 + 4
【解题思路】
class Solution {
public int numSquares(int n) {
int[] dp = new int[n + 1];
Arrays.fill(dp, n);
dp[0] = 0;
for(int i = 0; i <= n; i++) {
for(int j = 1; j * j <= n; j++) {
if(i + j * j <= n) {
dp[i + j * j] = Math.min(dp[i + j * j], dp[i] + 1);
}
}
}
return dp[n];
}
}
组合总和IV★★
【题目】给定一个由正整数组成且不存在重复数字的数组，找出和为给定目标正整数的组合的个数。
【示例】
nums = [1, 2, 3]
target = 4
所有可能的组合为：
(1, 1, 1, 1)
(1, 1, 2)
(1, 2, 1)
(1, 3)
(2, 1, 1)
(2, 2)
(3, 1)
请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。
因此输出为 7。
【解题思路】
class Solution {
public int combinationSum4(int[] nums, int target) {
int[] dp = new int[target + 1];
dp[0] = 1;
for(int i = 1; i <= target; i++){
for(int j : nums){
if(i >= j){
dp[i] += dp[i - j];
}
}
}
return dp[target];
}
}
零钱兑换★★
【题目】给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。
你可以认为每种硬币的数量是无限的。
【示例】
输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1
【解题思路】
class Solution {
public int coinChange(int[] coins, int amount) {
int[] dp = new int[amount + 1];
Arrays.fill(dp, amount + 1);
dp[0] = 0;
for(int i = 1; i <= amount; i++) {
for(int coin : coins) {
if(i >= coin) {
dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coin] + 1);
}
}
}
return dp[amount] > amount ? -1 : dp[amount];
}
}
分发糖果★★★
【题目】
老师想给孩子们分发糖果，有 N 个孩子站成了一条直线，老师会根据每个孩子的表现，预先给他们评分。
你需要按照以下要求，帮助老师给这些孩子分发糖果：
- 每个孩子至少分配到 1 个糖果。
- 评分更高的孩子必须比他两侧的邻位孩子获得更多的糖果。
那么这样下来，老师至少需要准备多少颗糖果呢？
【示例】
输入：[1,0,2]
输出：5
解释：你可以分别给这三个孩子分发 2、1、2 颗糖果。
【解题思路】
从左向右遍历，若当前孩子评分高于左边的孩子，则比左边孩子多分一个苹果，否则分一个苹果；
从右向左遍历，若当前孩子评分高于右边的孩子且苹果数小于等于右边孩子，则比右边孩子多分一个苹果。此时，当前孩子以及他右侧的孩子苹果已经符合要求，可以累加求和。
class Solution {
public int candy(int[] ratings) {
if(ratings == null || ratings.length == 0) return 0;
int n = ratings.length;
int[] dp = new int[n];
dp[0] = 1;
for(int i = 1; i < n; i++) {
if(ratings[i] > ratings[i - 1]) {
dp[i] = dp[i - 1] + 1;
}else {
dp[i] = 1;
}
}
int count = 0;
for(int i = n - 1; i >= 0; i--) {
if(i != n - 1 && ratings[i] > ratings[i + 1] && dp[i] <= dp[i + 1]) {
dp[i] = dp[i + 1] + 1;
}
count += dp[i];
}
return count;
}
}
最长上升子序列(LIS)★★
见往期力扣之最：【LeetCode】（动态规划ி）力扣之最
最长公共子序列(LCS)★★
同见往期力扣之最：【LeetCode】（动态规划ி）力扣之最