动态规划典型问题模板

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一、最长上升子序列（Longest increasing subsequence）

状态：以ak(k=1,2,3...N)为终点的最长递增子序列的长度。

状态转移方程：

• MaxLen(1) = 1
• MaxLen(k) = Max{ MaxLen(i): 1<i<k 且 a_i<a_k 且 k≠1 } +1

这个转移方程的意思就是，MaxLen(k)的值，就是在a_k左边，“终点”数值小于a_k，且长度最大的那个上升子序列的长度再加1。因为a_k左边任何“终点”小于a_k的子序列，加上a_k后就能形成一个更长的子序列。

注意：读入数据和状态转移都以1为起点。

数据结构：

const int N = 10010;
int a[N];//记录原序列
int dp[N];//dp[i]表示包括第i位之前序列的最长上升子序列长度
int len;//原序列长度

LIS()：动规求解序列各位的最长递增子序列长度

int LIS()
{
    int tmp = 1;//返回值，表示整个序列的LIS值
    for (int i = 1; i <= len; i++)
    {
        dp[i] = 1;//都初始化为1,方便后面直接比较
        for (int j = 1; j < i; j++)
        {
            if (a[j]<a[i] && dp[j] + 1>dp[i]) dp[i] = dp[j] + 1;
        }
        if (dp[i] > tmp) tmp = dp[i];
    }
    return tmp;
}

例：POJ 2533 Longest Ordered Subsequence

AC代码

#include<cstdio>
#include<cstring>

const int N = 1010;
int a[N];//记录原序列
int dp[N];//dp[i]表示包括第i位之前序列的最长上升子序列长度
int len;//原序列长度

int LIS()
{
    int tmp = 1;//返回值，表示整个序列的LIS值
    for (int i = 1; i <= len; i++)
    {
        dp[i] = 1;//都初始化为1,方便后面直接比较
        for (int j = 1; j < i; j++)
        {
            if (a[j]<a[i] && dp[j] + 1>dp[i]) dp[i] = dp[j] + 1;
        }
        if (dp[i] > tmp) tmp = dp[i];
    }
    return tmp;
}

int main()
{
    scanf("%d", &len);
    for (int i = 1; i <= len; i++)scanf("%d", &a[i]);
    int ans = LIS();
    printf("%d", ans);
    return 0;
}