BUPT 离散下期末复习（在考试结束前不断迭代）

BUPT离散下期末复习

1. 关系Relation
2. 半群、群
3. 高级计数法
4. 图
5. 树

关系Relation

1. 关系的表示
2. 关系的性质
3. 关系的组合
4. 闭包
5. 等价关系、等价类
6. 偏序关系

• n元素集合有$2^{n^2}$个关系
• 定理：

1. A是B的子集，则A上的关系是B上的关系的子集
2. 两个集合的交的关系等同于两个集合关系的交
3. 两个集合的并的关系等同于两个集合关系的并

关系的表示

关系有三种表示方法：

1. 集合表示法
2. 图
3. 矩阵表示法

• 使用集合表示
  略

• 使用矩阵进行表示
  称之为关系矩阵或者邻接矩阵
  更多有关矩阵表示详见后面的描述

• 使用图进行表示
  最为直观的表示方式
  使用顶点代表元素，使用有向线段代表元素之间的关系

关系的性质

1. 自反、反自反、非自反非反自反，既自反又反自反
2. 对称、反对称、非对称非反对称，既对称又反对称
3. 传递、非传递

自反

• 自反：如果集合A中有元素a，那么必定存在(a, a)的关系，称之为自反
  矩阵表示：该矩阵的主对角线全1
  图表示：所有顶点都有一条指向自身的线

• 反自反：关系中不存在形如(a, a)的项
  矩阵表示：该矩阵的主对角线全0
  图表示：所有顶点都没有指向自己的线

• 非自反非反自反：介于以上两者之间
  含有形如(a, a)的关系，但是不是全部
  矩阵表示：主对角线一部分为1
  图表示：有一部分顶点没有指向自己的线

• 既自反又反自反：集合为空集

对称

• 对称：若存在(a, b)，必定存在(b, a)
  矩阵表示：矩阵是对称矩阵
  图表示：若有a->b的线段，必定也存在b->a的线段

• 反对称：若存在(a, b)，仅仅当a=b的时候才存在(b, a)
  矩阵表示：矩阵完全不对称
  图表示：若有a->b的线段，必定不存在b->a的线段，除非a、b是同一个点

• 非对称非反对称：介于以上两者之间，一部分的(a, b)有对应的(b, a)，另外一部分没有
  矩阵表示：矩阵不完全对称
  图表示：一部分a->b的线段存在对应的b->a的线段

• 既对称又反对称：关系中只存在(a, a)这种项
  矩阵表示：除了对角线，全为0
  图表示：顶点要么自环，要么没有连线

传递

• 传递：若存在a->b、b->c，则必定存在a->c
  矩阵表示：存在a->b、b->c、c->a的通路
  图表示：任意一个点a沿着一条路径a->b->…->c走到终点c，必定有另一条路径a->c直接将a、c相连

• 非传递
  不满足以上条件，则是非传递的关系

题型

n个元素的集合有$2^{n(n-1)}$个自反的关系

关系的组合

因为关系是笛卡尔积的子集，因此任何适用于集合的运算均适用于关系
且关系有自己特定的计算：

1. 关系的合成
2. 关系的幂

另外，关系的交运算，使用关系矩阵的或运算完成
关系的并运算，使用关系矩阵的与运算完成

合成

存在A到B的关系，也存在B到C的关系，将其合成，即找到A->C之间的通路
例如存在关系(a, b)，(b, c)，则通路就是a->b->c，此时新关系为(a, c)

矩阵表示：关系的合成使用关系矩阵的异或运算完成

幂

关系的幂，即同一个关系的合成
n次幂，就是n个同一个关系的合成

闭包

其他的闭包都不会考，因为太简单了，有手就性，所以这里只说传递闭包的做法

1. 算法1
2. 沃舍尔算法

算法1

课本上就是写算法1，所以就不命名了

首先说做法，再说原理

• 做法
  假设矩阵是n阶的，求矩阵的1阶、2阶、3阶、……、n阶幂，然后求这些阶的矩阵的幂的交

看中文版教材第504页的例子就懂了

• 原理
  连通性关系：$R\ast ={\cup }_{n=1}^{\infty }{R}^n$
  传递闭包等同于连通性关系

沃舍尔算法

关键是计算$W_i$
$W_0$就是关系矩阵
$W_i$就是检索第$i$列，看第$j$行对应的地方是否为1，是则将$j$行对应第$i$行不是1的地方补1

例如，

0 0 0 1
1 0 1 0
1 0 0 1
0 0 1 0

求$W_1$，先遍历第1列，发现第2行是1，说明第2个元素到第1个元素之间有连接，而第1个元素有到第4个元素的连接，根据传递性，2->1，1->4，则应当存在2->4，因此第二行第4列改为1，同理，继续计算，得

0 0 0 1
1 0 1 1
1 0 0 1
0 0 1 0

算到$W_n$就是传递闭包

等价

• 等价关系：自反+对称+传递
  证明等价关系，只需要证明自反+ 对称+传递即可

• 等价类
  R是等价关系，与a有关系的所有元素的集合称之为关于a的等价类，等价类中的元素称之为代表元。

• 定理：若R是定义在集合S上的等价关系，则R的等价类构成了S的划分。

偏序

• 偏序关系：自反+反对称+传递（等价：自反+对称+传递）
  用于证明一个关系是偏序关系。
  记作：$(S,R)$，S为集合，R为关系

• 可比性
  若偏序集中的两个元素具有偏序关系，称之为可比，否则称之为不可比

• 全序集
  偏序集中的每个元素都可比，称之为全序集

• 良序集
  对于全序集S，每个非空集合都有最小元素，称之为良序集
  使用数学归纳法进行归纳

哈塞图

哈塞图是省略了自反和传递关系的描述偏序关系的图（箭头也省略了）

1. 覆盖关系 若两个具有偏序关系的元素之间没有夹着其他元素，称其为覆盖关系
2. 极大元、极小元：即不小于/大于任何其他的元素，即哈塞图中的顶部和底部
3. 最大元、最小元：即大于/小于其他任何元素，只要存在即唯一
4. 上界、下界：对于S的子集A，存在u，大于/小于任何a，则u为A的上界/下界
5. 最大下界、最小上界：字面意思

格

• 格：每一对元素，都有最小上界和最大下界，称之为格
  格满足等幂、交换、结合、吸收

拓扑排序

在偏序集上定义全序
每一次都选择一个极小元，去掉它，然后重复

引理：有穷非空偏序集至少有一个极小元

半群、群

高级计数法

图

树