差分与前缀和1
差分：
T1 堆叠草堆
题目：
Bessie对她自己最近在农场周围的恶作剧感到抱歉，于是她同意帮助Farmer John堆叠新送达的一批干草捆。
开始时有N(N是奇数)个空草堆，标记为1…N。FJ将会给Bessie包含K条指令的序列，每条指令的格式为"A B"，表示Bessie应该在草堆A…B中每一个草堆顶部新放一捆干草。例如，如果Bessie听到指令"10 13"，那么她应该在草堆10,11,12和13上各新放一捆干草。
在Bessie完成了FJ的所有指令后，FJ想要知道N个草堆高度的中位数——也就是说，所有草堆排序后中央草堆(由于N是奇数，这个草堆是唯一的)的高度。请帮助Bessie确定FJ问题的答案。
输入
第1行：两个被空格分隔的整数N和K。
第2…1+K行：每行包含一条FJ的指令，其格式为两个被空格分隔的整数A和B。
输出
一个整数， Bessie 完成所有指令后草堆高度的中位数。
输入样例
7 4
5 5
2 4
4 6
3 5
输出样例
1
思路：
看到这个题目后，我第一时间是想到用循环把每次输入的草堆挨个加1，但后来发现TLE了，就想起了用差分，在每次要加的第一个草堆处加1，再最后一个的后面一个-1，最后统一加回去，十分快速简便。
代码如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,q,h,a[1000010],b[1000010];
void insert(int l,int r)
{
b[l]+=1;
b[r+1]-=1;
} //差分函数
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);//加快输入输出
cin>>n>>q;
for(int i=1;i<=q;i++)
{
int l,r;
cin>>l>>r;
insert(l,r);//对l~r的区间草堆加1
}
for(int i=1;i<=n;i++)
b[i]+=b[i-1];//前缀和
sort(b+1,b+1+n);
cout<<b[n/2+1];
return 0;
}
T2 套圈游戏
题目：
小b在逛公园的时候发现了一个好玩的游戏，有一个 n*n 的方格，每个方格里面有若干硬币，你只要交完钱，老板就给你 m 个方形的圈，你扔出去的圈会覆盖部分方格，这些方格你可以从中获得一枚硬币，但是老板不会做亏本生意的，他规定：如果一个方格被覆盖2次或以上，则不能获得这个方格中的硬币。
现在已知小b扔出去的 m 个圈的左上角以及右下角坐标，请计算出小b最终获得多少枚硬币。
输入
第一行，两个整数n和m。（2<=n<=2000）
接下来m行，每行4个数，分别表示圈的左上角坐标以及右下角坐标。（坐标值均在1~n之间）
输出
一个整数，表示获得的硬币数。
输入样例
5 3
2 2 3 3
3 3 5 5
1 2 1 4
输出样例
14
思路：
这道题目很明显要用二维差分来做，二维差分其实和二维前缀和（见T4）类似，能快速的实现多个数据的改变。
代码如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,q,h,b[2010][2010];
void insert(int x1,int y1,int x2,int y2)
{
b[x1][y1]+=1;
b[x2+1][y1]-=1;
b[x1][y2+1]-=1;
b[x2+1][y2+1]+=1;
} //二维差分函数
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>n>>q;
while(q--)
{
int x1,y1,x2,y2;
cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
insert(x1,y1,x2,y2);//对(x1,y1)~(x2,y2)范围内的圈子套中次数加1
}
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
b[i][j]+=b[i-1][j]+b[i][j-1]-b[i-1][j-1];//前缀和
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
if(b[i][j]==1)
h++;
cout<<h;
return 0;
}
前缀和
T3 好奇的金鱼（二）
题目：
有n条金鱼排成一队，现在已知每条鱼的体重w。
好奇的金鱼会有m次询问，每次询问给出两个值(l,r)
（r >= l），想计算出[l,r]之间的金鱼体重之和。
输入
第一行2个数，n和m，中间用空格分隔
（1 <= n, m <= 100000)。
之后n+m行，
第 1 至 n 行：每行一个数字w（0 <= w <= 1000）
第 n + 1 至 n + m 行：每行2个数字l，r，中间用空格分隔
（0 < l <= r <= n）
输出
输出共m行，每行一个数，对应询问区间的金鱼体重之和。
输入样例
3 3
1
3
5
1 2
1 3
2 3
输出样例
4
9
8
思路：
其实我第一次做这道题的时候还是懵B一个，上来就直接循环m次找答案，然后…就TLE了，后来我认真学习，知道了前缀和这种方法，才A了这题。
前缀和：一种找l~r区间的和的方法，很快。开始每次都把从a1到当前的和找到（s[n]=s[n-1]+a[n]），求l到r区间的时候直接把s[r]-s[l-1] (不然会减掉l)就可以得到了。
代码如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[100010],s[100010],n,m,h,d,f;
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>a[i];
s[i]=a[i]+s[i-1]; //前缀和
}
for(int i=1;i<=m;i++)
{
cin>>d>>f;
h=s[f]-s[d-1];
cout<<h<<endl;
}
return 0;
}
T4 子矩阵求和
题目：
给出一个n * m的矩阵a，矩阵元素a[i][j]小于1000，进行q次查询，每次查询给出子矩阵的4个边界（上下左右），求该子矩阵所有元素之和。
比如有一个查询：1 2 1 3 ，表示要计算从第1行到第2行，从第1列到第3列的所有元素之和。
输入
第一行2个整数n, m，中间用空格分割，分别对应数组的行数n、列数m(1 <= m,n <= 1000)
接下来n行，每行m个整数表示矩阵的内容a[i][j] 。
(0 <= a[i,j] <= 1000)
接下来1行，一个数q，对应查询的数量。(1 <= q <= 10000)
接下来q行，每行4个整数，对应子矩阵的上下左右边界u,d,l,r。(1 <= u <= d <= n, 1 <= l <= r <= m)
输出
共q行，对应q个询问的求和结果。
输入样例
3 4
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
3
1 3 1 2
1 2 1 3
1 3 1 3
输出样例
33
24
54
思路：
第一次看见这道题的时候，我刚学二维数组，强行用暴力解法（for循环）解，直接TLE，然后想起前缀和是个好东西，就用一维前缀和做了一下，完美的TLE了，想了半天，受到一维前缀和的启发，写出了二维前缀和，
顺利AC
代码如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[1010][1010],n,m,gg,u,d,l,r,s[1010][1010],h;
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=m;j++)
{
cin>>a[i][j];
s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j];
}
}
cin>>gg;
for(int i=1;i<=gg;i++)
{
cin>>u>>d>>l>>r;
cout<<s[d][r]-s[u-1][r]-s[d][l-1]+s[u-1][l-1]<<" ";
//二维前缀和
}
return 0;
}