最近看了论文《Point Set Registration: Coherent Point Drift》，来记录一下对这个算法的理解。
CPD算法使用的数学模型为高斯混合模型（GMM），关于高斯混合模型的理解可以参考下面这篇博客
https://www.jianshu.com/p/928d48afcd9a
论文首先定义了一系列变量：
其中点集X和点集Y是两个需要配准的点云，T为变换矩阵。其中点集Y解释为GMM模型的型心，点集X为由GMM模型生成的数据点，这就可以理解为，现在我已将点集Y当成一个正确标准的点集，点集X呢，则是有许多散落在标准点集周围的点构成的点云，因为点集Y中的每个点都代表了一个高斯分布，则点集Y就是由这M个高斯分布混合而成，而点集X就是这个高斯混合分布生成的点集。
上文中提到的高斯模型用下式表示：
其中，
，w是权值，N和M是常数。
从上面这个p(x)式子的第二项可以知道，点集X中一个点存在的概率：就是求它与每个高斯模型形心（即Y中的每个点）的距离和，只不过这里的"距离和"用"概率和"进行表示。
可以想像，假如点集X和点集Y完全相同，并且点集X和点集Y之间的正确变换矩阵T我们已经找到，这样，在我们利用变换矩阵T将点集Y变换后，两点集应当完全重合，则总有一个点与
相重合，也就是两点之间的距离为0，那么上面式子中的exp部分就等于1了。然而从上面式子我们也可以看到，第二项算的是
与Y中所有点的距离和，我们现在只算了重合的那个y点，其他y点对这个距离和贡献有多少呢？可以说基本为0，这是由y=exp（-x）这个函数的图像决定的，毕竟exp(-3)就等于0.05了，而在大规模点云中，哪两个点之间间距不得2米以上（式中还有个平方），所以，可以认为点集Y中其他点对
存在的概率贡献基本为0。因此，可以想到，当点集X和点集Y真的一模一样的时候，什么情况下p(x)最大呢，当然是我们在计算每个
的存在概率时，让它的累加项中出现1，也就是每个
都能get到它的对应点。
那么当点集X和点集Y不一样呢，比如点集X有些部分和点集Y完全相同，有些则不同（但差别也不算大），那么在不同的部分，和最靠近的那个y点对
存在的概率贡献最大。
我们将所有存在的可能性全部加起来得到的累加和，就是这个变换矩阵T的得分，累加和越大，得分越高，说明这个变换矩阵T越准确，累加和如下式：
E这个式子其实就是上面p(x)取对数，前面多的N项累加和相当于把每个的存在可能性累加，这样看来，也就是我们关于这个算法的所有目标都转变为对上式求最小值（前面相对于p(x)多个负号），当我们找到最小值了，最佳变换矩阵T也就得到了，当然如果是局部最小就跪了。怎样求上面这个式子最小值呢？用EM算法，关于EM算法就推荐大家看另一篇博客了，这里，就不再细说了：EM算法
以上就是我关于这个算法的理解，欢迎各位大佬批评指正！！！QQ：1826380364