整除性与最大公因数

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Def: 两个数 $a$ 和 $b$ （不全为零）的最大公因数是整除他们两个的最大数，记为 $gcd(a,b)$. 若 $gcd(a,b)=1$，则称 $a$ 和 $b$ 互素.

欧几里得算法

• 下面先给出欧几里得算法的定理

定理（欧几里得算法） 要计算两个整数 $a$ 与 $b$ 的最大公因数，先令$r_{-1}=a$且 $r_0=b$，然后计算相继的商和余数
$$r_{i-1}=q_{i+1}\ast r_i+r_{i-1}(i=0,1,2,\cdots )$$
直到某余数 $r_{i-1}$ 为 0. 最后的非零余数 $r_n$ 就是 $a$ 与 $b$ 的最大公因数。

• 浅显易懂的举例：计算 $gcd(36,132)$

1. 将 132 除以 36 得商 3与余数 24
   $$132=3\ast 36+24$$
2. 取 36 ，用前一步的余数 24 除 36 得
   $$36=1\ast 24+12$$
3. 用 12 除 24 求得余数 0
   $$24=2\ast 12+0$$
   ​ 欧几里得算法说明当得到余数 0 时，前一步的余数就是最初两个数的最大公因数。故求得 $gcd(132,36)=12$

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• 下面我们分析欧几里得算法，假设求 $gcd(a,b)$ ，对于一般情景，有：

$$a=q_1\ast b+r_1\text{\hspace{1em}(1)}$$
$$b=q_2\ast r_1+r_2\text{\hspace{1em}(2)}$$
$$r_1=q_3\ast r_2+r_3\text{\hspace{1em}(3)}$$

$$r_2=q_4\ast r_3+r_4\text{\hspace{1em}(4)}$$

$$⋮$$

$$r_{n-3}=q_{n-1}\ast r_{n-2}+r_{n-1}\text{\hspace{1em}(5)}$$

$$r_{n-2}=q_n\ast r_{n-1}+r_n\text{\hspace{1em}(6)}$$

$$r_{n-1}=q_{n+1}\ast r_n+0\text{\hspace{1em}(7)}$$

如果令 $r_0=b$ 且 $r_{-1}=a$ 则每行可以写成：
$$r_{i-1}=q_{i+1}\ast r_i+r_{i+1}$$
​ 那么，为什么说 $r_n$ 就是 $a$ 与 $b$ 的最大公因数呢？我们先来证明 $r_n$ 是 $a$ 与 $b$ 的公因数：

**证：**式 $(7)$ 表明 $r_n$ 整除 $r_{n-1}$ ，再观察式 $(6)$ ，因为 $r_n$ 整除 $r_{n-1}$ 和 $r_n$，可以发现 $r_n$ 整除 $r_{n-2}$ 。

向上递推直到 $i=0$ ，此时可以得到 $r_n$ 整除 $r_{-1}$ 和 $r_0$ ，即 $r_n$ 整除 $a$ 和 $b$ ，故$r_n$ 是 $a$ 与 $b$ 的公因数.

接下来证明 $r_n$ 是 $a$ 与 $b$ 的最大公因数：

**证：**假设 $d$ 是 $a$ 和 $b$ 的任意公因数。从式 $(1)$ 可得，$d$ 整除 $a,b,r_1$ ，再观察式 $(2)$ 可得$d$ 整除 $b,r_1,r_2$ ，向下递推直到式 $(7)$ ，可得 $d$ 整除 $r_n$ 。

由于 $d$ 是 $a$ 和 $b$ 的任意公因数且 $d$ 整除 $r_n$ ，可得 $r_n$ 为 $a$ 和 $b$ 的最大公因数

​ 既然已经得到了欧几里得算法的确可以求得最大公因数。那么，这一算法的效率如何呢，要经过多少次计算才能得到为 0 的余数呢？

​ 或者说，这一算法有没有可能因为无法得到为 0 的余数而永无止境？

以下证明过程，证明了欧几里得算法至多在 $2lo{g}_2(b)$ 步终止：

**证：**已知以下两式：
$$r_{i-2}=q_i\ast r_{i-1}+r_i\text{\hspace{1em}(8)}$$

$$r_{i-1}=q_{i+1}\ast r_i+r_{i+1}i=0,1,2,\cdots \text{\hspace{1em}(9)}$$

式$(8)$减去式$(9)$整理得
$$r_{i-2}=（q_i+1）\ast r_{i-1}+(1-q_{i+1})\ast r_i-r_{i+1}\text{\hspace{1em}(10)}$$
将式$(9)$代入式$(10)$整理得：
$$(q_i\ast q_{i+1}+1)\ast r_i+q_i\ast r_{i+1}=r_{i-2}$$
由于 $q$ 是正整数，可得：
$$r_{i-2}>2r_i$$
通过递推可以得到：
$$2^{-\frac{i}{2}}\ast b>r_i$$
当 $2^{-\frac{i}{2}}\ast b=1$ 时算法结束，此时步数 $i=2lo{g}_2(b)$

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What‘s more:

由于欧几里得算法的最大步数是 $2lo{g}_2(b)$，十进制数 $b$ 可以表示为 $b=m\ast 10^n$ 将其代入，可以得出：欧几里得算法的最大步数约等于 $b$ 的位数的 7 倍。因此，即使是在对非常大的数求公因式时，依然可以保持很高的效率。

欧几里得算法的代码实现

a = int(input())
b = int(input())
if a == 0 or b == 0:
    print("illegal input")
else:
    while b != 0:
        a, b = b, a % b
    print("gcd(a,b)=", a)

参考文献：A Brief Introduction to Number Theory --Joseph H.Silverman