交错群的生成元系

定理： 当 $n⩽3$ 时，全体长为 $3$ 的轮换形成 $A_n$ 的一个生成元系

---

证明： 设 $\sigma \ne 1$ 时偶置换，则 $\sigma$ 时偶数个对换之积.从而只需证任意两个对换之积可用长为 $3$ 的轮换表示即可.

对于 $\tau =(ij)(rs)(i\ne j,r\ne s).$

1. 如果 $(ij)=(rs)$, 则 $\tau =1.$
2. 如果 $j=r,i\ne s$,则 $\tau =(jsi)$
3. 如果 $i,j,r,s$ 两两不等，则 $\tau =(ris)(ijr)$

证毕