本文分成 Malthus 增长模型，Logistic 增长模型，竞争模型，Lotka-Volterra 四个部分。
种群增长模型
Malthus 增长模型
模型的建立
设区域内种群的数量为 N N N，增长率与种群数量正相关，即
d N d t = r N (1.1) \frac{\mathrm{d}\!N}{\mathrm{d}t}=rN\tag{1.1} dtdN=rN(1.1)
模型求解
设初值条件 N ( t = t 0 ) = N 0 N_{(t=t_0)}=N_0 N(t=t0)=N0 ，解得
N = N 0 e r ( t − t 0 ) (1.2) N=N_0e^{r(t-t_0)}\tag{1.2} N=N0er(t−t0)(1.2)
模型分析
画出 ( 1.2 ) (1.2) (1.2) 式中的的函数图像与相图.
如果横纵坐标取值范围差距较大的话，相图的效果会比较差，因此我这里把 t t t 和 N N N 都限制在 [ 0 , 5 ] [0,5] [0,5].
Logistic 模型
模型建立
考虑到环境资源有限，种群数量不可能无限增长，环境最大容纳量记作 N m N_m Nm，式 ( 1.1 ) (1.1) (1.1) 修改为
d N d t = r ( 1 − N N m ) N (2.1) \frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=r(1-\frac{N}{N_m})N\tag{2.1} dtdN=r(1−NmN)N(2.1)
模型求解
给初值： N ( t 0 ) = x 0 N(t_0)=x_0 N(t0)=x0
解得：
N ( t ) = N m 1 + ( N m N 0 − 1 ) e − r ( t − t 0 ) (2.2) N(t)=\frac{N_m}{1+(\frac{N_m}{N_0}-1)e^{-r(t-t_0)}}\tag{2.2} N(t)=1+(N0Nm−1)e−r(t−t0)Nm(2.2)
模型分析
给出 ( 2.2 ) (2.2) (2.2) 式的图像与相图：
可以看到现在的种群增长比较符合实际情况了。在模型发展初期，环境压力较小，基本符合 Malthus 增长模型 的增长情况。在发展后期，环境压力变大，种群增长率开始下降，最终趋于稳定。
特别的，种群增长率在 N = N m 2 N=\frac{N_m}{2} N=2Nm 时达到最大。
