day22 55 连续子数组的最大和 （线性DP）

55. 连续子数组的最大和

输入一个 非空 整型数组，数组里的数可能为正，也可能为负。

数组中一个或连续的多个整数组成一个子数组。

求所有子数组的和的最大值。

要求时间复杂度为$O(n)$。

样例
输入：[1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5]

输出：18

思路：

这是一个典型的线性DP处理的例题。

我们可以用dp[i]表示以第i个元素结尾的最大连续子数组的和，那么dp[i-1]表示的便是以第i - 1个元素结尾的最大连续子数组的和。

由于是计算以第i个元素结尾的最大连续子数组的和，故一定包含元素nums[i]，由此我们可以得出状态转移方程：

1. 如果dp[i-1] <= 0,那么以第i个元素结尾的最大连续子数组的和就是第i个元素本身，即dp[i] = nums[i]。
2. 如果dp[i-1] > 0,那么以第i个元素结尾的最大连续子数组的和dp[i] = dp[i-1] + nums[i]。

总结就是：dp[i] = max(dp[i - 1],0) + nums[i]

Java代码

class Solution {
    
    
    public int maxSubArray(int[] nums) {
    
    
        int n = nums.length;
        int[] dp = new int[n];
        //初始化dp
        dp[0] = nums[0];
        int res = dp[0];//保存最大值
        for(int i = 1;i < n;i++){
    
    
            dp[i] = Math.max(dp[i - 1],0) + nums[i];
            res = Math.max(res,dp[i]);
        }
        return res;
    }
}