Numpy中矩阵运算

1 矩阵和向量

1.1 矩阵

矩阵，英文matrix，和array的区别矩阵必须是2维的，但是array可以是多维的。

如图:这个是 3×2 矩阵，即 3 行 2 列，如 m 为行，n 为列，那么 m×n 即 3×2

矩阵的维数即行数×列数

矩阵元素(矩阵项):

Aij 指第 i 行，第 j 列的元素。

1.2 向量

向量是一种特殊的矩阵，一般都是列向量，下面展示的就是三维列向量(3×1)。)

2 加法和标量乘法

矩阵的加法:行列数相等的可以加。【对应位置相加】

例:

矩阵的乘法:每个元素都要乘。【标量和每个位置的元素相乘】

例:

组合算法也类似。

3 矩阵向量乘法

矩阵和向量的乘法如图：m×n 的矩阵乘以 n×1 的向量，得到的是 m×1 的向量

例:

1*1+3*5 = 16
4*1+0*5 = 4
2*1+1*5 = 7

矩阵乘法遵循准则：

(M行, N列)*(N行, L列) = (M行, L列)

4 矩阵乘法

矩阵乘法：

m×n 矩阵乘以 n×o 矩阵，变成 m×o 矩阵。

举例：比如说现在有两个矩阵 A 和 B，那么它们的乘积就可以表示为图中所示的形式。

5 矩阵乘法的性质

矩阵的乘法不满足交换律：A×B≠B×A

矩阵的乘法满足结合律。即：A×（B×C）=（A×B）×C

单位矩阵：在矩阵的乘法中，有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的 1,我们称这种矩阵为单位矩阵．它是个方阵，一般用 I 或者 E 表示，从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为 1 以外全都为 0。如：

6 逆、转置

矩阵的逆：如矩阵 A 是一个 m×m 矩阵（方阵），如果有逆矩阵，则：

低阶矩阵求逆的方法:

1.待定系数法

2.初等变换

矩阵的转置：设 A 为 m×n 阶矩阵（即 m 行 n 列），第 i 行 j 列的元素是 a(i,j)，即：

A=a(i,j)

定义 A 的转置为这样一个 n×m 阶矩阵 B，满足 B=a(j,i)，即 b (i,j)=a (j,i)（B 的第 i 行第 j 列元素是 A 的第 j 行第 i 列元素），记 AT =B。

直观来看，将 A 的所有元素绕着一条从第 1 行第 1 列元素出发的右下方 45 度的射线作镜面反转，即得到 A 的转置。

例：

7 矩阵运算

7.1 矩阵乘法api：

np.matmul 【矩阵乘法】
np.dot 【点乘】
【两者之间在进行矩阵相乘的时候没有区别，但是dot支持矩阵和数字的相乘】

>>> a = np.array([[80, 86],
[82, 80],
[85, 78],
[90, 90],
[86, 82],
[82, 90],
[78, 80],
[92, 94]])
>>> b = np.array([[0.7], [0.3]])

>>> np.matmul(a, b)
array([[81.8],
       [81.4],
       [82.9],
       [90. ],
       [84.8],
       [84.4],
       [78.6],
       [92.6]])

>>> np.dot(a,b)
array([[81.8],
       [81.4],
       [82.9],
       [90. ],
       [84.8],
       [84.4],
       [78.6],
       [92.6]])

np.matmul和np.dot的区别:

二者都是矩阵乘法。 np.matmul中禁止矩阵与标量的乘法。在矢量乘矢量的內积运算中，np.matmul与np.dot没有区别。

7 小结

1.矩阵和向量
- 矩阵就是特殊的二维数组
- 向量就是一行或者一列的数据
2.矩阵加法和标量乘法
- 矩阵的加法:行列数相等的可以加。
- 矩阵的乘法:每个元素都要乘。
3.矩阵和矩阵(向量)相乘
- (M行, N列)*(N行, L列) = (M行, L列)
4.矩阵性质
- 矩阵不满足交换率,满足结合律
5.单位矩阵
- 对角线都是1的矩阵,其他位置都为0
6.矩阵运算
- np.matmul
- np.dot
- 注意：二者都是矩阵乘法。 np.matmul中禁止矩阵与标量的乘法。在矢量乘矢量的內积运算中，np.matmul与np.dot没有区别。