CF1370C Number Game （博弈论+数论）

题目

最开始，我们可以把 $n$ 分成三种情况

• 当 $n=1$，后手赢
• 当 $n$ 为奇数，先手赢，$n$ 直接除以自身就可以了

前两种情况都比较简单，下面来讨论当 $n$ 为偶数的情况
当 $n$ 为偶数（$2$ 的倍数），想赢的话肯定不能使用减 $1$ 的操作，因为这样后手必胜。那么就考虑除以约数
由于 $n$ 为偶数，我们一定可以将 $n$ 分解成一些质数与 $2$ 的正整数次幂之积 $n=p_1\times p_2\times \cdots \times p_m\times 2^k$ $(k>0,m\ge 0)$，并且满足这些质数都不是 $2$ 的倍数
又因为每次除掉的值可以是多个质因数的积（只要是约数就行），所以只要 $m>1$，Ashishgup 就可以很灵活的选择约数。
最后，当 $n$ 被除地只剩 $2^k$ 时，又会有两种情况

1. $n=2$ ，先取的人赢：判断是否能将 $m$ 个质数转化成偶数个不为 $1$ 的数的乘积，如果可以的话说明当前 Ashishgup 可以先取（Ashishgup 获胜）
2. $n>2$ ，后取的人赢：判断是否能将 $m$ 个质数转化成奇数个不为 $1$ 的数的乘积，如果可以的话说明当前 Ashishgup 可以后取（Ashishgup 获胜）

否则获胜的就是 FastestFinger 啦

代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
int n;
int main()
{
    
    
//	freopen("in.txt","r",stdin);
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
    
    
		scanf("%d",&n);
		if(n==1){
    
    puts("FastestFinger");continue;}
		if((n & 1) || n==2){
    
    puts("Ashishgup");continue;}
		int tot=0;
		for(int i=2;i*i<=n;++i)
		if((i & 1) && n%i==0) // 注意这里只能把为奇数的质因数
		while(n%i==0)++tot,n/=i;
		for(int i=2;i*i<=n;++i)
		{
    
    
			int tmp=n/i;
			if((tmp & 1) && n%i==0)
			while(n%tmp==0)++tot,n/=tmp;
		}
		if(n==2)
		{
    
    
			if(tot!=1)puts("Ashishgup");
			else puts("FastestFinger"); // 如果只有一个质数的话就不能化为偶数个数之积
		}
		else
		{
    
    
			if(tot)puts("Ashishgup");
			else puts("FastestFinger"); // 这里特判的是0，跟上面原理相同
		}
	}
	return 0;
}