CF115E Linear Kingdom Races（线段树优化DP）

题目链接

看完题后，你的第一个想法可能是考虑每场比赛是否进行，并计算相应的路费。
但是，如果两次比赛的路线重合，路费就只用支付一次。由此就产生了后效性，对我们的DP造成了困难。

那么，我们可以反过来想：考虑每条路是否支付路费（修路），并算出所有可以进行的比赛赚到的钱。
设 $f[i]$ 表示前 $i$ 条路中修复若干条路后可以赚到的最多的钱。
转移方程：

• $f[i]=f[i-1]$，即不修第 $i$ 条路。
• f [ i ] = max ⁡ 0 ≤ j < i { f [ j ] + val ⁡ ( j + 1 , i ) − cost ⁡ ( j + 1 , i ) } f[i]=\max\limits_{0\le j <i} \{f[j]+\operatorname{val}(j+1,i)-\operatorname{cost}(j+1,i)\} f[i]=0≤j<imax​{ f[j]+val(j+1,i)−cost(j+1,i)}，将区间 $[j+1,i]$ 中的路都修好。其中 $\mathrm{cost}(j+1,i)$ 表示修好区间中所有路所要花的钱；$\mathrm{val}(j+1,i)$ 表示区间中的路都修好的情况下，举行比赛可以赚到的钱。

我们考虑用线段树来优化，第 $j$ 个位置 $(0\le j\le n)$ 的 $c[j]$ 储存 $f[j]+\mathrm{val}(j+1,i)-\mathrm{cost}(j+1,i)$
每次枚举到一个新的 $i$ 时：

1. 将 $c[0\dots i-1]$ 减去 $a[i]$（修路的价钱），因为都要多修一条路。
2. 对于每个右端点 $r=i$ 的比赛 $(l,r,v)$，将 $c[0\dots l-1]$ 都加上 $v$。因为在这些状态中，$[l,r]$ 区间的路都修好了（可以进行比赛）。
3. 更新当前状态： f [ i ] = max ⁡ ( f [ i − 1 ] , max ⁡ 0 ≤ j < i { c [ j ] } ) f[i]=\max(f[i-1],\max\limits_{0\le j < i}\{c[j]\}) f[i]=max(f[i−1],0≤j<imax​{ c[j]})。
4. 最后，更新线段树中的 $c[i]$。

总时间复杂度$O(n\log n)$。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
const long long Maxn=200000+10,inf=(1ll<<60);
const long long Maxm=Maxn<<2;
struct node{
    
    
	long long p,v;
	node(long long x,long long y)
	{
    
    
		p=x,v=y;
	}
};
long long maxv[Maxm],add[Maxm];
long long a[Maxn],f[Maxn];
vector <node> c[Maxn];
long long n,m;
inline long long read()
{
    
    
	long long s=0,w=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){
    
    if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0' && ch<='9')s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48),ch=getchar();
	return s*w;
}
inline void check(long long &x,long long y)
{
    
    
	if(y>x)x=y;
}
inline void push_up(long long k)
{
    
    
	maxv[k]=max(maxv[k<<1],maxv[k<<1|1]);
}
inline void upd(long long k,long long v)
{
    
    
	maxv[k]+=v;
	add[k]+=v;
}
inline void push_down(long long k)
{
    
    
	if(!add[k])return;
	upd(k<<1,add[k]);
	upd(k<<1|1,add[k]);
	add[k]=0;
}
void modify(long long k,long long l,long long r,long long x,long long y,long long v)
{
    
    
	if(x<=l && r<=y)return upd(k,v);
	push_down(k);
	long long mid=(l+r)>>1;
	if(x<=mid)modify(k<<1,l,mid,x,y,v);
	if(mid<y)modify(k<<1|1,mid+1,r,x,y,v);
	push_up(k);
}
long long query(long long k,long long l,long long r,long long x,long long y)
{
    
    
	if(x<=l && r<=y)return maxv[k];
	push_down(k);
	long long mid=(l+r)>>1,ret=-inf;
	if(x<=mid)ret=query(k<<1,l,mid,x,y);
	if(mid<y)check(ret,query(k<<1|1,mid+1,r,x,y));
	return ret;
}
void modify_val(long long k,long long l,long long r,long long pos,long long v)
{
    
    
	if(l==r)
	{
    
    
		add[k]=0,maxv[k]=v;
		return;
	}
	push_down(k);
	long long mid=(l+r)>>1;
	if(pos<=mid)modify_val(k<<1,l,mid,pos,v);
	else modify_val(k<<1|1,mid+1,r,pos,v);
	push_up(k);
}
int main()
{
    
    
	n=read(),m=read();
	for(long long i=1;i<=n;++i)
	a[i]=read();
	while(m--)
	{
    
    
		long long x=read(),y=read(),v=read();
		c[y].push_back(node(x,v));
	}
	for(long long i=1;i<=n;++i)
	{
    
    
		modify(1,0,n,0,i-1,-a[i]);
		for(long long j=0;j<c[i].size();++j)
		{
    
    
			long long p=c[i][j].p,v=c[i][j].v;
			modify(1,0,n,0,p-1,v);
		}
		f[i]=max(query(1,0,n,0,i-1),f[i-1]);
		modify_val(1,0,n,i,f[i]);
	}
	printf("%lld\n",f[n]);
	return 0;
}