【ACWing】423. 采药

题目地址：

https://www.acwing.com/problem/content/425/

辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？

输入格式：
输入文件的第一行有两个整数$T$和$M$，用一个空格隔开，$T$代表总共能够用来采药的时间，$M$代表山洞里的草药的数目。接下来的$M$行每行包括两个在$1$到$100$之间（包括$1$和$100$）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。

输出格式：
输出文件包括一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。

数据范围：
$1\le T\le 1000$
$1\le M\le 100$

这就是一个$0-1$背包问题，其经典做法是动态规划，设$f[i][j]$是只采摘前$i$个草药并且花费时间不超过$j$的情况下，能得到的最大价值。那么可以按照采不采第$i$个草药来分类，有： f [ i ] [ j ] = max ⁡ { f [ i − 1 ] [ j ] , f [ i − 1 ] [ j − w [ i ] ] + v [ i ] } f[i][j]=\max\{f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+v[i]\} f[i][j]=max{ f[i−1][j],f[i−1][j−w[i]]+v[i]}其中$w$代表采摘时间，$v$代表价值。代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 1010, M = 110;
int f[M][N];
int w[M], v[M];

int main() {
    
    
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= m; i++) cin >> w[i] >> v[i];

    for (int i = 1; i <= m; i++)
        for (int j = 0; j <= n; j++) {
    
    
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if (j >= w[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - w[i]] + v[i]);
        }
            
    cout << f[m][n] << endl;

    return 0;
}

时空复杂度$O(TM)$。

可以考虑空间优化，每行从大到小遍历。代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 1010, M = 110;
int f[N];
int w[M], v[M];

int main() {
    
    
    int n, m;
    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= m; i++) cin >> w[i] >> v[i];

    for (int i = 1; i <= m; i++)
        for (int j = n; j >= w[i]; j--)
            f[j] = max(f[j], f[j - w[i]] + v[i]);
            
    cout << f[n] << endl;

    return 0;
}

时间复杂度不变，空间$O(T)$。